微分中值定理的有关应用

论文总字数：7714字

摘 要

关键词：微分中值定理, 近似值, 等式

Abstract：Differential mean value theorem is an important content of differential calculus, and it has a wide application. In this paper, we discuss the differential mean value theorem in approximation, and discuss the function of zero point and prove inequality related applications.

Key words：Differential mean value theorem, Approximation, Equation

目 录

1引言·······················································4

2中值定理的基本内容·········································4

2.1罗尔（Rolle）定理······································5

2.2拉格朗日（Lagrange）中值定理···························5

2.3柯西（Cauchy）中值定理·································5

3经典题型中的微分中值定理···································6

3.1求近似值···············································6

3.2证明方程根（零点）的存在性·····························7

3.3证明有关等式···········································8

3.4证明不等式············································10

3.5求极限················································11

4结论······················································14

5参考文献··················································15

1. 引言

人们对微分中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代, 希腊著名数学家阿基米德曾巧妙地运用Lagrange中值定理的特殊情况求出抛物弓形的面积, 而对此定理的研究比微积分的发现还要更久远. 著名法国数学家Fermat曾在他的著作中写道的Fermat定理中就有关于微分中值定理的理论叙述. 紧随其后, 大约40年, 法国数学家 Rolle(1652—1719)在一本论述几何与代数的《解开结的方法》书中发表了Rolle 定理. 这个定理如今在微积分中十分重要, 但这个定理却是Rolle在研究方程的近似解时不经意间给出的. 到了1797 年, 法国数学家 Lagrange（1736—1813）在《解析函数论》一书中给出 Lagrange 中值定理, 并给出最初的证明. 最后要讲的是18世纪, 积分是被当做微分的倒数来处理的, 法国数学家 Cauchy（1789—1857）为了证明积分与不定积分的关系, 他通过使用平均值定理, 也就是 Lagrange 中值定理实现了这个目标. 后来, Cauchy 对和加以适当的条件限制, 从而得到了Cauchy中值定理^[1~2].

如今, 数学随着时代的步伐大步前进, 对于微分中值定理的研究也达到了较高水平.《2003年全国硕士研究生入学考试大纲》修订说明中提到,在一元函数微分学部分, 将罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西(Cauchy)中值定理和泰勒(Taylor)定理统称为微分中值定理^[3]. 对于微分中值定理本课题主要以Rolle定理、Lagrange中值定理以及Cauchy中值定理的应用为主要的研究对象.

随着广大学者对微分中值定理的深入研究, 微分中值定理在数学解题中的应用越来越广泛. 本文在前人研究的基础上^[5~14], 对微分中值定理进行系统化、理论化的研究计算, 对微分中值定理在求近似值、讨论函数的零点、证明有关等式、证明不等式、求极限五个方面的应用进行探讨.

1. 中值定理的基本内容^[4~5]

微分中值定理是在学习微积分时所必需运用到的,它为微积分的求解提供更多的方法,充实了微分学理论内容. 它主要包括Rolle定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理.

微分中值定理表明了函数在某区内间的整体性质与该区间内某一点导数之间的关系, 是联系函数局部与整体的纽带, 为微分学对的应用以及自身发展奠定了坚实的理论基础, 因此微分中值定理被许多学者认为是研究学习微积分学的重要桥梁.

2.1 罗尔（Rolle）定理

设函数在上连续且在此闭区间的内点处皆可微, 又设, 那么在区间中存在点使得.

Rolle定理的几何意义：在每一点都可导的一段连续曲线上, 如果曲线的两端点高度相等, 则至少存在一条水平切线.

2.2 拉格朗日（Lagrange）中值定理

设函数在闭区间连续且在开区间上可微, 那么成立公式

或,

其中是此闭区间的某个内点. Lagrange中值定理是Cauchy中值定理当时的特殊情形.

Lagrange中值定理的几何意义：在满足定理条件的曲线上至少存在一点P, 该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB.

2.3 柯西（Cauchy）中值定理

设函数和满在闭区间上连续且在其内可微, 设对于一切, , 那么在区间内存在, 使得

. ①

Cauchy中值定理的几何意义：类似前面两个定理, 将,这两个函数看作以为参数的参数方程在平面上表示一段曲线. 由于①式右边的表示连接该曲线两端的弦AB的斜率, 而①式左边的则表示该曲线上与相对应的一点处的切线与弦AB互相平行.

由以上内容可知, Rolle定理是Lagrange中值定理的特例, Cauchy中值定理是Lagrange中值定理的推广.

剩余内容已隐藏，请支付后下载全文，论文总字数：7714字