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摘 要

关键词：柯西不等式，应用，初等数学

Abstract：Cauchy inequality is one of the more well-known inequalities in mathematics, and has a wide range of applications in mathematics. In this paper ,we summed up different forms t of Cauchy inequality and illustrated the flexible application of Cauchy inequality by kinds of typical examples in Elementary mathematics field.

Keyword：Cauchy—inequality, application,Elementary mathematics

目录

1 引言 4

2 柯西的简介及柯西不等式的形式、证明 4

2.1 柯西的简介 4

2.2 Cauchy不等式的形式及证明 5

3 柯西不等式在初等数学中的应用 7

3.1 利用柯西不等式解决代数问题 7

3.2 利用柯西不等式解决几何问题 12

结语 16

参考文献 17

致谢  18

1 引言

柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“留数”问题时发现的.在历史的发展进程中，许多优秀的学者对柯西不等式进行了学习与研究，并在自己的研究领域中推而广之，形成了许多优秀的系统的理论成果.毫无疑问柯西不等式是数学不等式中较为基础且重要的不等式之一,常常作为重要的桥梁来建立条件和结论之间的联系.柯西不等式与高等数学、初等数学有着紧密的联系.在高等数学中，柯西不等式广泛应用于数值分析、微分方程、概率统计等方面，具有重要的实用价值和研究价值.在初等数学中，在证明不等式、解不等式、解决最值问题和几何问题、确定参数的求值范围、巧妙求值、解三角形、解方程等方面都有较广泛的应用，如果可以巧妙地构造柯西不等式可以使一些困难的问题得到简化.

本文先总结了柯西不等式的几种形式，然后用构造函数法和数学归纳法系统地证明了初等数学中柯西不等式的一般形式.最后将柯西不等式的应用概括为两大类，即柯西不等式在解决代数问题和几何问题中的应用.为了使读者更为简单明了地理解柯西不等式的广泛应用，写者精心挑选了几个典型的范例来加以阐述.

2 柯西的简介及柯西不等式的形式、证明

2.1 柯西的简介

柯西(Cauchy, 1789—1857)是法国著名的数学家、物理学家、天文学家.在19世纪初,微积分已发展成一个庞大的分支,内容十分丰富,应用极其广泛.但与此同时,它的薄弱之处也逐渐地暴露出来,即微积分的理论基础并不严格.柯西在数学上的最大贡献是在微积分中引进了极限概念，并以极限为基础建立了逻辑清晰的分析体系.这是微积分发展史上的精华，也是柯西对人类科学发展所做的巨大贡献.数学大师伯努利曾说过：“只有数学能够探讨“无穷”,而“无穷”正是上帝的属性之一”.物理、化学、生物都是有限之内的学科,“无穷”才能代表永远测不透的极限.“无穷”的观念令哲学家疯征、让神学家叹息,使许多人深感惧怕.柯西却把“无穷”应用来厘定更精确的数学含义,他把数学的微分看或是“无穷小时的变化”,把积分表示为“无穷多个无穷小之和”.柯西用无穷重新定义微积分,至今仍为每一本微积分课本的开宗明义篇.

柯西在其它方面的研究成果也很丰富.复变函数的微积分理论就是由他创立的.在代数方面、理论物理、光学、弹性理论方面，也有突出贡献.柯西的数学成就不仅辉煌，而且数量惊人.柯西全集有27卷，其论著有800多篇，在数学史上是仅次于欧拉的多产数学家.他的光辉名字与许多定理、准则一起铭记在当今许多教材中.

2.2 Cauchy不等式的形式及证明

定义1(一般形式) 设为任意实数（）,则

.

其中等号当且仅当成比例时成立.

上述不等式就是著名的柯西不等式.

柯西不等式在不同的数学研究领域中有着不同的形式.常见的有

二维形式 ,当且仅当等号成立.

三角形式 ，当且仅当等号成立.

向量形式 ，当且仅当为零向量，或等号成立.

积分形式 为区间上的可积函数，有

.

当且仅当存在不全为零的常数，使时，等号成立.

证明柯西不等式的方法有很多，常见的有配方法、数学归纳法、向量内积法、构造函数法、比较法、递推法等等，下面简单介绍构造函数法和数学归纳法，其他证明方法本文就不一一累述了.

证法一（构造函数法） 从不等式的结构分析，不等式两边同乘以4可变形为

，

其结构类似于一元二次函数的判别式，所以可以用构造一元二次函数的方法来证明.

令

.

当全为0时，结论显然成立.

当不全为0时，则，为首相系数大于零的一元二次函数，并且

，

故有其判别式

,

即

，

显然当且仅当时等号成立.

证法二（数学归纳法)

当时，等号显然成立.

当时，式左边

当且仅当时等号成立.故时结论成立.

假设时，结论成立，即有

，

当，或时等号成立.

则

所以

，

当，或时等号成立.故时结论成立.

综上可得，对任意的自然数，不等式均成立.

3 柯西不等式在初等数学中的应用

柯西不等式本身具有灵活性、多变性,依照柯西不等式的结构特点,适当的选取两个数组，构造柯西不等式的形式与条件，灵活应用，可以解决初等数学中的很多问题.例如利用柯西不等式证明或解不等式、解决最值问题和几何问题、确定参数的求值范围、巧妙求值、解三角形、解方程等方面都有较广泛的应用.以下就柯西不等式在初等数学中的应用通过几类典型范例来作一些说明.

3.1 利用柯西不等式解决代数问题

柯西不等式具有对称和谐的结构，因此找准解题的正确方向、抓住问题的结构体征，合理变形、巧妙构造成为重中之重.

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