新课程学习中的矩阵思想

论文总字数：7115字

摘 要

矩阵在数学中应用非常广泛，而且其思想、运算与性质也是解决众多问题的关键.本文分析研究了矩阵思想在新一轮课程改革中的基本要求与矩阵的基本内容，同时还分析了矩阵思想在解题方面的具体应用，以及案例讲述了如何在矩阵教学中体现新课程的教学理念.

关键词：矩阵，矩阵思想，新课程，应用，教学理念

Abstract：Matrix is used widely in mathematics， and its thoughts, operations and properties are the key to solve many mathematical problems. The article analyses the basic acquirement of Matrix and basic content of Matrix in a new round of curriculum reform. It also analyses the specific application of Matrix thoughts in solving problems and uses the cases to tell about how to embody the teaching ideas of the new curriculum in teaching of Matrix.

Keywords：Matrix, matrix theory, new curriculum, application, teaching idea

目 录

1 引言 3

2 新课程学习中的矩阵思想 3

2.1 新课程关于矩阵的内容与要求 3

2.2 矩阵思想教学的基本原则 3

2.3 矩阵思想在解题中的应用 4

2.3.1 从几何变换的角度求解矩阵问题 4

2.3.2 用矩阵求解直线与椭圆相切的条件 5

2.3.3 矩阵在图形面积求解中的应用 6

2.3.4 矩阵在求解线性规划中的应用 8

2.3.5 矩阵在求解递推数列公式中的应用 9

2.3.6 矩阵在解题方面的特别功效 11

2.4 在矩阵教学中体现新课程的教学理念 11

2.4.1 创设问题情境，激发学生学习兴趣 11

2.4.2 帮助学生从几何直观的角度理解数学 12

2.4.3 突出教学过程中的师生互动，注重过程教学 12

2.4.4 突出数形结合思想，加强新课程与信息技术的有机整合 13

结论 13

参考文献 14

1 引言

矩阵是高中数学中的重要概念.在高中阶段，矩阵作为一门选修课.重点在于介绍矩阵的基本内容和基本思想.

在教学中如何贯彻课程改革的新理念，如何描述简单的题型及在高考中的题型.本文针对以上问题展开研究.力求理清、弄顺矩阵知识点在新课程中的地位与知识体系，以题型入手，理解与应用矩阵的知识点.以力求对这一知识点更好的掌握与运用.将通过对矩阵的认识及矩阵思想的细化，讨论矩阵在新课程教学中的应用，并结合高考实际，阐述了矩阵思想在新课程学习的重要性.

2 新课程学习中的矩阵思想

2.1 新课程关于矩阵的内容与要求

新课标对选修4-2《矩阵与变换》内容作出了的新的要求，具体如下：

(1)二阶矩阵、向量的乘法和图形的变换.要求认识、理解矩阵和向量乘法的意义，了解几种线性变换.

(2)二阶矩阵的乘法.通过实例和几何图形变换，了解其意义以及满足的运算律.

(3)逆矩阵与行列式.要求学生领会逆矩阵的意义和性质，并掌握求解逆矩阵的方法.

(4)解二元一次方程组.认识解线性方程组的意义，写出方程组的系数矩阵，进而用其逆矩阵来求解方程组.

(5)特征值与特征向量.这部分重点在于使学生掌握矩阵的特征值和特征向量的定义以及它们的求法.

2.2 矩阵思想教学的基本原则

矩阵思想的教学应遵循一般的数学教学原则，不过，矩阵思想在教学中也应符合自身的教学原则.

2.2.1 矩阵思想定义

矩阵思想是指在用矩阵对原始感性材料分析与规整的基础上，形成严谨、全面和专业并具有逻辑性和关联性的理性思想，进而利于形成高层次思维的思想想法.

2.2.2 矩阵思想的教学原则

(1) 直观性教学原则

从普遍意义上来说，矩阵也是一种“代数”.因而，在教学中，可以进一步从代数的角度来了解矩阵.这样可以为矩阵提供一个直观的、具体的模型.

在引入矩阵的概念时，如举例某竞赛中甲乙两名选手的初复试成绩表；以地图的表示方法给出淮安、南京、徐州、上海四城市的航线；哥尼斯堡七桥问题，让学生在具体的数据、故事、材料中，自主探索，结合自己的认知结构，对所给材料进行分析与概括，形成概念，最终领会矩阵的意义.

(2) 启发性教学原则

苏教版选修4-2中都是比较基础简单的知识，教师在课堂教学中不仅让学生理解掌握书本知识，还要创设适当的情景，引导学生思考矩阵在生活中其他方面的应用，学会用矩阵思想来与学过的知识联系，从而利用矩阵知识来解题.例如教师可以引导学生尝试用矩阵的知识来求解递推数列的通项和求解平面变换图形的面积等.

2.3 矩阵思想在解题中的应用

2.3.1 从几何变换的角度求解矩阵问题

例1 求解矩阵AB的逆矩阵： .

解 矩阵对应的变换是一个反射变换，反射轴为轴，则它的逆矩阵为自身，，矩阵对应的变换是旋转变换，是绕原点按逆时针旋转，其逆矩阵对应的变换为绕原点顺时针旋转的旋转变换，，因此.

2.3.2 用矩阵求解直线与椭圆相切条件

例2 求证：直线与椭圆相切的条件是.

传统解法 直线与椭圆相切，其实质就是直线与椭圆只有一个交点，将直线方程代入椭圆方程有 ，整理得，（*）.由于直线与椭圆只有一个交点，有（*）的，所以 ,化简得 .

传统解法中计算比较繁琐，可以通过矩阵来简化.

解法1 在矩阵所对应的变换作用下，直线上任一点，即 , (1)

则椭圆方程可转化为圆的方程

, (2)

把（1）代入可化为直线方程

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