行列式在解题中的应用

论文总字数：5565字

摘 要

关键词:行列式,范德蒙德行列式,线性方程组,雅克比行列式

Abstract:The determinant is one of the elementary tools in linear algebra. In this paper,we first introduced the definition and the properties of the determinants and then discussed some conclusions and applications of the determinants in operation of determinants,linear equations, mathematical analysis, elementary algebra and analytic geometry.

Key words: determinant,Vandermonde determinant, linear equations,jacobian

目 录

1 前言 4

2 行列式的概念及基本性质 4

2.1 级行列式的定义 4

2.2 行列式的基本性质及定理 4

3 行列式在高等数学中的应用 5

3.1范德蒙德（）行列式在行列式计算中的应用 6

3.2雅克比行列式在微积分中的应用 7

3.3行列式在解方程中的应用 9

4 行列式在初等数学中的应用 10

4.1 用行列式分解因式 10

4.2用行列式证明不等式和恒等式 11

4.3用行列式表示面积和体积 12

4.4 行列式在数列中的应用 13

结 论 15

参 考 文 献 16

致 谢 17

1 前言

行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中.十七世纪晚期,关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式.十八世纪开始,行列式开始作为独立的数学概念被研究.十九世纪以后,行列式理论得到进一步发展和完善.行列式是研究数学问题的重要工具之一,行列式定义及其性质的运用使问题的解决变得简单,无论是在线性代数、多项式理论,还是在微积分学中（比如说换元积分法中）,行列式作为基本的数学工具,都有着重要的应用.下面我们首先来介绍行列式有关的概念及其性质.其次为了更进一步了解行列式在各个方面的意义我们介绍行列式在高等数学与初等数学中的若干应用.

2 行列式的概念及基本性质

2.1 级行列式的定义

定义1^[1] 级行列式

等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积

(1)

的代数和,这里是的一个排列.每一项都按下列规则带有符号:当时偶排列时,(1)带有正号,当时奇排列时,(1)带有负号.这一定义可以写成

这里表示对所有级排列求和.

2.2 行列式的基本性质及定理

定理1^[1] 设行列式

表示元素的代数余子式,则有下面的式子成立:

性质1^[1] 行列式一行的公因式可以提出,即

性质2^[1] 如果行列式某一行是两组数的和,那么行列式等于两个行列式的和,即

性质3^[1] 如果行列式中两行成比例,那么行列式为零,即

（如果行列式中一行为零,那么行列式为零）

性质4^[1] 把一行的倍数加到另一行,行列式不变,即

性质5^[1] 对换行列式中两行的位置,行列式反号,即

3 行列式在高等数学中的应用

3.1范德蒙德（）行列式在行列式计算中的应用

定义2^[1] 行列式称为级范德蒙德行列式.

阶范德蒙行列式是线性代数中著名的行列式,它构造独特、形式优美,有广泛的应用,我们可以根据范德蒙行列式的这种结构特点,利用行列式的性质（如提公因式,调换行的次序,将行列式拆成两个行列式等）将行列式转化为范德蒙德行列式,或者改变行列式中的元素,或者用加边法将所给行列式化为范德蒙行列式,然后利用其结果计算.

例1计算行列式

解 由性质1,从的第行提取得到

在所得行列式中,从第一列起,依次将前一列加到后一列上,得到一个范德蒙德行列式,于是

例2计算行列式.

解 将题中所给的行列式记为构造这样的范德蒙德行列式

令

则

由定理1,将行列式按最后一列展开可得前系数为即

例3计算行列式

解 根据行列式的性质2,将按最后一列分和得

其中第一个行列式是范德蒙德行列式,第二个行列式最后一行提出,可得

因此

3.2雅克比行列式在微积分中的应用

定义3^[2] 对于个元函数组对每个变量都存在偏导数,则行列式

称为元函数组在点的雅可比行列式,也称为函数行列式.

我们通常在数学分析中进行二(三)重积分的计算时一般运用一些技巧,首先针对积分区域的边界的各类特殊情况,然后选取适当的坐标变换,运用相应的雅可比行列式,最后将原积分转化为对新坐标进行累次积分的简易计算.我们首先看一看它在二重积分和三重积分的坐标变换中的应用.

(1)二阶雅可比行列式的应用

定理2^［2］ 设函数组变换为存在一阶连续偏导数,则二阶雅可比行列式为

即且有

其中

(2)三阶雅可比行列式的应用

定理3^［2］ 设函数组变换为 存在偏导数,则三阶阶雅可比行列式为,即且有

其中

例4求二重积分.其中是由轴、轴和直线所围成的闭区域.

解 由于积分区域的边界出现“”,被积函数出现“”和“”,故选取坐标变换为

则有

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