高等数学中辅助函数的构造研究

论文总字数：7457字

摘 要

关键词：辅助函数，构造函数法，常微分方程，中值定理

Abstract: In this paper, we mainly introduced the construction of function of auxiliary function in advanced mathematics,and discussed the application of auxiliary function in mathematical problem for solving with examples.

Keywords: auxiliary function, construction of function, ordinary differential equations, mean value theorem

目 录

1 前言 …………………………………………………………………………3

2 辅助函数的构造方法 ………………………………………………………3

2.1 直接观察法 ………………………………………………………………3

2.2 几何直观法 ………………………………………………………………4

2.3 逆推法 ……………………………………………………………………5

2.4 几何意义法 ………………………………………………………………6

2.5 三点定抛物线法 …………………………………………………………7

2.6 常数值法 ………………………………………………………………7

2.7 恒等变形法 ………………………………………………………………9

2.8 行列式法…………………………………………………………………10

2.9 微分方程法………………………………………………………………12

2.10 泰勒公式法 ……………………………………………………………12

3 辅助函数在高等数学中的应用……………………………………………14

3.1 在不等式中的应用………………………………………………………14

3.2 在中值定理中的应用……………………………………………………15

4 结论…………………………………………………………………………17

参考文献………………………………………………………………………18

致谢……………………………………………………………………………19

1 前言

在数学证明过程中,我们经常会遇到许多困惑,可能是因为我们的思路和运用的方法出现了偏差,需要换个方向思考.这个时候,假如试着去构造一个函数,再结合相关定理进行分析,往往就能成功地解决问题.然而,怎样才能构造出正确的辅助函数呢？这才是解决问题的关键之处.辅助函数的构造需要进行各种各样的尝试,最终才能得到我们想要的.

在高等数学中,有很多问题都需要通过构造辅助函数才能解决.数学问题的解决过程,是实现从结论到条件、从未知到已知的转化过程.在这个转化过程中,经常会不可避免地遇到一些的障碍^[1].

在高等数学的解题中较为重要的环节就是辅助函数的构造.它是根据数学问题中的条件去构造的函数,再分析这个函数的特点进行解答.题目中原先的问题才是我们要求的,而通常我们想要达到目的的手段是构造辅助函数,它是解决问题的桥梁,就像几何图形解题中辅助线的作用一样.利用辅助函数解决数学问题,表明不少数学问题从一般化入手更容易得到解决,启发我们从普遍的联系中去发现规律和解决问题的途径.

本文将对辅助函数的几种常用的构造方法进行归纳总结,并通过实例探究辅助函数在中值定理、不等式问题中的应用．

2 辅助函数的构造方法

2.1 直接观察法^[2]

观察是认识事物,发现与解决问题的基石.通过观察法可以构造比较简单的辅助函数,解决表面特征较为明显的数学问题.

例1 若,,证明

证 引人辅助函数

,

取端点,代入得

,,

记点,.于是,经过、的直线方程为

,

猜想,要证明猜想成立,通过画图可知,只需证明辅助函数为凹函数即可.

由,知函数在上为凹函数,分别令则

三式相加得

故原不等式得证.

2.2 几何直观法

这种方法是通过观察几何图形,然后了解函数之间的关系,最后运用几何知识列出辅助函数^[3].

例2 设函数在上连续,在内可导,则存在,使等式

成立.

证 如图1所示,直线方程为

作辅助函数

图1

容易验证适合罗尔定理条件,在连续,在可导,且

,

由罗尔定理知至少存在一点使即

,

亦即

一般来说,对于和的线性式,如果在端点处取值相同,那么都能作为辅助函数,如下列函数

,

,

,

都可取作辅助函数.这些函数在上都符合罗尔定理的条件,因此得证.

2.3 逆推法

从要证的结论出发,若想证,则可以运用倒推,分析原函数的形式,从而构造出辅助函数的方法称为逆推法.这个方法适合用在“至少存在一点,使得关于及其函数的代数式成立”这类命题的证明^[4].

构造辅助函数的步骤为

(1)将命题中的换成；

(2)进行恒等变形,使结论转换成可以消除导数符号的形式；

(3)运用观察法或者积分法得到原函数,为了方便,积分常数通常取为零；

(4)通过转换,令等式的一边为零,那么另一边就是要构造的辅助函数.

例3 如果函数在上可导,且,则至少存在一点,使得

.

证 令,,则在上连续,在内可导,且,根据罗尔中值定理可知,至少存在一点使,即

,

整理得

.

例4 设函数在上可导,试证明存在,使得

.

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