浅析矩阵初等变换的应用

论文总字数：3371字

摘 要

关键词：初等变换，矩阵的逆，矩阵的秩，线性方程组

Abstract: In this paper we mainly discussed the applications of elementary transformation of matrix in the inverse of the matrix, rank of matrix and linear equations by the definition and properties of elementary transformation of matrix.

Key words: elementary transformation, inverse of a matrix , rank of matrix, linear equations

目 录

1 引言 4

2 预备知识 4

2.1 基本定义 4

2.2 简单性质 4

3 矩阵初等变换的一些应用 5

3.1 运用矩阵初等变换求逆矩阵 5

3.2 运用矩阵初等变换求矩阵的秩 6

3.3 运用矩阵初等变换解线性方程组 7

结 论 10

参 考 文 献 11

1 引言

在高等代数和线性代数的问题研究中运用初等变换分析和解决问题是一种非常重要的思维方式.这种方法的实质是将复杂的问题变得简单化,简单不仅指计算还指解决问题的思路,并且这种方法还能够保持事物的本质不变^[1]. 矩阵的初等变换计算简洁便于应用,用初等变换去解决有些运算复杂的问题往往会起到事半功倍的效果.本文将对求矩阵的逆，矩阵的秩，和求解线性方程组所应用到的矩阵的初等变换进行研究，较为系统的总结矩阵初等变换的三点应用.

2 预备知识

2.1 基本定义

定义1^[2] 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵，我们称为初等矩阵.

定义2^[3] 矩阵的行（列）初等变换即对矩阵实施下列变换：

⑴矩阵的两行(列)互相交换位置,简称为位置变换.

⑵将矩阵的某行(列)乘以一个非零常数,简称为数乘变换.

⑶矩阵的某行(列)加上另一行(列)的非零常数倍,简称为倍乘变换.

定义3^[2] 如果可以由经过一系列初等变换得到，则矩阵与矩阵等价.

定义4^[2] 如果有n级方阵,使得,这里是n级单位矩阵，那么n级方阵称为可逆的.

定义5^[2] 矩阵的秩是指与之等价的阶梯形矩阵中非零行的个数,记为.

定义6^[2] 所谓阶梯型矩阵就是矩阵从上到下的每行中，第一个非零元素左边零的个数随行数增加而增加，所有元素全部都为零的行位于矩阵的最下面.

2.2 简单性质

性质1^[2] 任何一个矩阵经过一系列初等行变换总能变成阶梯型矩阵.

性质2^[2] 初等变换不改变矩阵的秩.

性质3^[2] 矩阵的行秩等于矩阵的列秩.

性质4^[2] 对于任何矩阵，必可经有限次初等变换化为如下形式的矩阵

称为矩阵的等价标准形.此标准形是有完全确定的，其中就是阶梯形矩阵中非零行的个数，即矩阵的秩.

性质5^[2] （线性方程组有解判别定理）：线性方程组有解的充分必要条件是它的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩.

3 矩阵初等变换的一些应用

3.1 运用矩阵初等变换求逆矩阵

求逆矩阵有两种主要的方法,但最常用的方法就是用初等变换,将要求逆矩阵的方阵和与同阶的单位矩阵并排放在一起，可以组成一个长方形矩阵,然后实行一系列的初等行变换,将长方形矩阵的左半部分化成单位矩阵，那么这时右半部分就是，即化成等价矩阵，从而求出逆矩阵.或将要求逆矩阵的方阵和与同阶的单位矩阵并列放在一起，可以组成一个长方形矩阵，然后实行一系列初等列变换，将长方形矩阵的上半部分化成单位矩阵，这时下半部分就是，即化成等价矩阵，从而求出逆矩阵^[4].

例1 设矩阵，求逆矩阵.

解 （法一）（初等行变换）

于是

.

解 （法二）（初等列变换）

于是

.

注 我们需要特别强调的是: 在用初等变换的方法求逆矩阵的时候,一定要注意要求逆矩阵的方阵和同阶单位矩阵是并排还是并列放的，并排放的进行的是初等行变换，并列放的进行初等列变换.根据矩阵的特点选择恰当的初等变换往往可以简化计算量，所以在计算前观察矩阵，做出合理判断.

3.2运用初等变换求矩阵的秩

在求矩阵的秩的两种主要方法中,最常用的方法就是用初等变换.任意一个矩阵经过若干次初等变换不改变矩阵的秩，并且任意一个矩阵都可以经过一系列初等变换化为阶梯形矩阵.即将要求秩的矩阵用初等变换化为等价的阶梯形矩阵,从中找出有几个不全是零的行,从而求出矩阵的秩.还可以灵活地将初等行变换、初等列变换交替使用,简化计算过程.

例2 设矩阵，求矩阵的秩.

解 对矩阵进行初等行变换

于是

=3.

注 每一个矩阵都有其固定的秩,秩是矩阵所固有的性质.矩阵的秩代表对应线性方程组中独立方程的个数,还可以用来判定一般线性方程组有解、无解及解的形式的依据.

3.3运用矩阵初等变换解线性方程组

运用矩阵初等变换解线性方程组就是对线性方程组的增广矩阵作初等行变换.将增广矩阵化为行阶梯型，那么可得到方程组的解.用这种方法解线性方程组，一定要注意的是只能作初等行变换^[5].

例3 求解线性方程组

.

解 原线性方程组的增广矩阵施以初等行变换，化为行阶梯形矩阵

因为=3，所以原线性方程组有无穷多个解，接着上式进行回代，有

.

由此得原方程组的同解方程组

,

取（其中为任意常数），则方程组的全部解为

,

即

.

注 解线性方程组的步骤:

1. 判断是否有解（比较与）；
2. 若有解，运用赋值的方法求出特解；
3. 求出其导出组的基础解系；
4. 写出所有解.

运用矩阵初等变换解各种线性方程组是都适用的,但关键就是用初等行变换将线性方程组的增广矩阵化为最简阶梯矩阵.由此可见矩阵的初等变换在解线性方程组时起着非常重要的应用.

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