Lorenz振子平衡态的稳定分析

论文总字数：4842字

摘 要

本文采取研究方程本身结构和特点的方法，即不解方程而是从其Jacobi矩阵入手，通过特征值的类型来分析三维系统平衡点的类型及其稳定性，并利用该方法来研究Lorenz系统，讨论了Lorenz系统随不同参数改变时各平衡点的类型及其稳定性的影响。

关 键 词：Lorenz系统，Jacobi矩阵，平衡点，稳定性

Abstract: This paper adopts the method of studying the structure and characteristics of the equation itself. We start with the Jacobi matrix and analyze the types of equilibrium point by types of characteristic values. And then we study the famous Lorenz system by it. In this paper we discuss the effects of different parameters on the type and stability of the equilibrium points of Lorenz system.

Keywords: Lorenz system, equilibrium point, stability, characteristic value

目 录

1引言…………………………………………………………………………4

2预备知识……………………………………………………………………4

3分析过程……………………………………………………………………7

4结论…………………………………………………………………………11

5参考文献……………………………………………………………………12

1 引言

“巴西的热带雨林中一只蝴蝶偶然扇下翅膀，就有可能在几周后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风。”这就是著名的“蝴蝶效应”[1]，它指出，即使初始条件有十分微小的变化，在经过不断放大之后对其未来的状况也会造成巨大的差别，这是近年来科学界在不断研究的“混沌现象”。所谓混沌，是指确定性动力学系统因对初值敏感而表现出的不可预测的、类似随机的运动。20世纪70年代之后的研究表明，大量非线性系统中尽管系统是确定性的，却普遍存在着对运动状态的初始值极为敏感、貌似随机的不可预测的运动状态——混沌运动。大气系统是一个典型的非线性系统，具有混沌特性。1963年，美国气象学家E.洛伦兹在研究对天气至关重要的热对流问题时，把包含无穷多自由度的热对流偏微分方程简化为三个变量的一阶非线性常微分方程组，由此得到了混沌领域的经典Lorenz方程组

其中x表示大气对流强度，y表示上升流与下降流温差，z表示垂直温度剖面变化。为普朗特数，为瑞利数，为量度水平温度结构与垂直温度结构衰减率之差异[2]。洛伦茨选定初值后数值求解方程组。结果发现，这极度简化了的系统，出现了特别复杂的运动形式。起始值的微小变化，就足以使轨道全然改变。

所以，当我们在用微分方程模型描述大量实际生活中的运动现象时，我们更关心的是当研究时间充分长以后过程的变化趋势——平衡状态是否稳定。稳定性模型不求微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性[3]。作为混沌始祖，Lorenz系统揭示了混沌运动的真实意义,是混沌发展史上的一个里程碑,具有举足轻重的地位。对Lorenz系统的深入研究无疑极大推动了混沌学的发展[4]。特别是近年来，以Lorenz系统为代表的对已知非线性系统新现象的探讨更是有助于丰富人们对非线性科学知识内容的认识[5]。例如近年来对控制Lorenz系统的混沌也有了一系列的进展[6]。

本文选定取普朗特数为5.0，讨论Lorenz系统随参数变化对其平衡点类型及其稳定性的影响。

2 预备知识

定义2.1 如果微分方程组

（1）

的右端不显含自变量，则称（1）为自治系统，若右端显含自变量，则称（1）为非自治系统。

定义2.2 对于自治系统（1），方程组的解称为该自治系统的平衡点。

定理2.1 设

（*）

为一自治系统，假设为该系统的平衡点（），A为处的Jacobi矩阵()，记该矩阵A的特征值为，r=1,2，…，n，则系统（*）平衡点的稳定性分为如下三种情况：

a. 如果Re() lt;0，r=1,2，…，n，则系统渐近稳定；反之亦然。

b. 如果存在某一，使得Re() gt;0，则系统不稳定。

c. 如果在，r=1,2，…，n中有m重特征值满足Re（）=0，，当对应的特征子空间维数为m时，系统稳定，但非渐近稳定；当特征子空间维数小于m时，系统不稳定。

除了判断系统的稳定性，我们还需要了解系统平衡点的类型，以二维系统为例（此时系统有两个特征值和），我们有以下结论如图1：

（1）如果且二者都为实数，那么当时平衡点为结点，且当时结点是稳定的，当时结点是不稳定的。

（2）如果和为异号实根，则平衡点为鞍点。

（3）如果和为一对共轭复根，那么当Re（）lt;0时平衡点为稳定的焦点，当Re（）gt;0时平衡点为不稳定的焦点。

图1 平面系统平衡点分类.

为了解特征值的情况，我们考察矩阵的特征多项式，但是当n较大时，其根是不容易求的。不过，我们并不要求找出特征方程的全部根，而只要求知道所有根的实部是否均为负数，为此介绍下面的Routh-Hurwitz判别法和盛金判别法。

定理2.2 赫尔维茨（Hurwitz）判别法

设给定常系数的n次代数方程

（2）

其中，作行列式

，，，…，

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