泰勒公式及其若干应用

论文总字数：6889字

摘 要

泰勒公式是高等数学中重要的公式，有化繁为简的功能，所以它在分析和研究数学问题时起着不可忽视的作用。本文主要介绍了泰勒公式的定义和带有其他余项的公式，通过典型的例题，介绍了泰勒公式的多种应用，包括在求极限、近似计算和求高阶导数方面的应用等。熟练掌握这些重要的泰勒公式，可以让我们在解题过程中更游刃有余，更灵活，更有技巧性。

关键词：泰勒公式，计算，证明不等式，应用

Abstract: Taylor formula is an important formula in advanced Mathematics, it can transform the complex problem to easy one. It is very useful to analyze and solve pr-oblems. Taylor formula and other forms with different remainder are mainly introdu-ced in this paper, through some typical examples, we present some applications of Taylor formula, including the applications of solving the limit, approximate calcula-tion and the higher derivative and so on. Applying these important Taylor formula un-der different conditions, can make us solve problems much more easier, more flexible and more tricky.

Key words: Taylor formula, Calculation, Proof of inequality, Applications

目录

1．引言 3

2．泰勒公式的定义 4

2.1带佩亚诺型余项的泰勒公式 4

2.2带拉格朗日型余项的泰勒公式 4

2.3常见函数的泰勒展开式 4

3．泰勒公式的应用 5

3.1 在求极限方面的应用 5

3.2 在近似计算方面的应用 5

3.3 在证明不等式或等式方面的应用 7

3.4在判断级数敛散性方面的应用 8

3.5在行列式计算方面的应用 9

3.6在证明中值问题方面的应用 11

3.7在求高阶导数方面的应用 12

3.8在证明根的存在性和唯一性方面的应用 12

3.9在求微分方程的解方面的应用 13

结论 15

参考文献 16

致谢 17

1 引言

众所周知，在数学理论中，泰勒公式有着及其重要的地位，它涉及到数学的各个方面，因此我们有必要清晰的认识泰勒公式的发展历史。在数学的学习研究中，泰勒公式是一个十分重要的内容，应用在初等数学、高等数学以及数学分析中，在计算和证明中有着无法替代的作用。

在数学史上，泰勒公式起源于牛顿插值的有限差分法。1715年泰勒出版了《增量法及其逆》一书，在这本书中载有现在微积分教程中以他的名字命名的一元函数的幂级数展开公式，当时他是通过对格雷戈里—牛顿插值公式求极限而得到的。一百多年后，柯西对无穷级数的收敛性给出了一个严格的证明。1755年，欧拉把泰勒级数用于他的“微分学”时才认识到其价值，后来拉格朗日用带余项的级数作为其函数理论的基础，从而进一步确认了泰勒级数的重要地位。泰勒也已函数的泰勒展开而闻名于后世。

现如今，泰勒公式的研究得到了广泛的关注。泰勒公式的证明与应用方面的研究对于科研者来说一直具有强大的吸引力，许多研究者已在此领域获得许多研究成果。例如，张雅琴在《泰勒公式应用的探讨》中着重论述了泰勒公式在近似计算、极限运算、级数与观后以及分的敛散性判断等方面的具体应用方法；唐仁献在文章《泰勒公式的新证明及其推广》中在推广了罗尔定理的基础上重新证明了泰勒公式；王素芳、陶容、张永胜在《泰勒公式在计算及证明中的应用》中研究了泰勒公式在极限运算、等式及不等式证明中的应用，解决了用其它方法较难解决的问题。在2002年到2012年，有大量文章研究了泰勒公式和泰勒公式的应用。在这些文章中作者在不等式或者等式的证明或者计算时都充分利用了泰勒公式的定理和性质，但方法新颖又恰到好处，值得借鉴和学习。

本文研究的主要是泰勒公式及其应用。首先，我们将来回顾一下带佩亚诺型余项的泰勒公式和带拉格朗日型余项的泰勒公式，以及一些我们在解题中常见的函数的泰勒展开式。给出它们的基本形式后，通过分析和研究，理解和掌握它们的具体应用，分别讨论了利用泰勒公式在求极限方面的应用，在近似计算方面的应用，在求高阶导数方面的应用等等。熟练掌握这些重要的泰勒公式，可以让我们在解题过程中更游刃有余，更灵活，更有技巧性。

2 泰勒公式的定义

2.1 带佩亚诺型余项的泰勒公式

若函数在存在阶导数，则有

.

这里为佩亚诺型余项，称上式为在的泰勒公式

当时，上式变成，

.

称上式为麦克劳林公式。

2.2　　带拉格朗日型余项的泰勒公式

设函数在的某邻域内存在直到阶的连续导数，则

.

这里为拉格朗日型余项，

当时，上式变成，

.

称此式为为带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式。

2.3 常用函数的泰勒展开式

(1)

(2)

(3)

(4)

上面展开式中的符号表示当时，它是一个比高阶的无穷小，即有.

3 泰勒公式的应用

3.1 在求极限方面的应用

对于待定型的极限问题，一般是用采用洛必达法则来解决的。可是有些极限问题的求导是很复杂的，尤其是需要多次使用洛必达法则的情况下，使用泰勒公式求解比洛必达法则求解要方便容易得多。在求极限时，主要有以下几种情况，如；如容易展开成泰勒公式的；如用洛必达法则求解比较繁琐的。

例1

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