一类含p(x)-q(x)-Laplace算子问题的多解性

论文总字数：6416字

摘 要

关键词：算子;空间;三临界点定理

Abstract: In this paper, the existence of at least three weak solutions is established for a class of quasilinear elliptic equations involving the operator with Dirichlet boundary condition. The technical approach is mainly baced on a three critical points theorem due to Ricceri.

Key words: ; space; Three critical points theorem

目录

1 前言…………………………………………………………………………… 3

2 预备知识……………………………………………………………………… 6

3 三解的存在性………………………………………………………………… 9

4 结论……………………………………………………………………………14

参考文献…………………………………………………………………………15

致谢………………………………………………………………………………17

1 前言

物理、化学、生物学及工程技术等成就和进展很大程度上推动了现代科学技术的发展，而这些学科在自身精确化过程中提出了大量的非线性问题,许多是非线性偏微分方程（组）,这些问题的解决将对科学技术的发展产生推动作用,同时也对数学自身的发展有重要的影响.国内外在科学技术中提出的重要非线性偏微分方程，许多是拟线性偏微分方程。例如，在非牛顿流体力学和相变理论中提出的非线性本构方程即非牛顿渗流方程（组）为拟线性抛物型方程，稳态非牛顿渗流方程（组）为拟线性椭圆型方程（组）。在实际中要求对它们进行直接计算，分析它们所描述的及其丰富的规律和现象来指导实践。

本文中我们将考虑以下椭圆型问题：

其中是一个有边界的有界域,实数,是算子,且满足：

令满足

,

.这里

,,

且是的对偶函数,也就是.

是函数,对

如果,方程变形为：

这类方程来源于典型的反应扩散方程

其中,. 此类问题在和物理,等离子物理等一些学科有着广泛的应用.在这些应用中,函数描述了一个集中,在右边第一项相应于扩散系数,而第二项是关于.典型的,在化学和生物应用中,反应项是的多项式.许多作者研究了问题的静态解,也就是下面方程：

.

其中,取各类不同的函数.利用的三解定理,和证明了条件下三个解的存在,具体来说就是研究了下列问题：

其中,是一个有界域且以为界,实数为连续函数.是函数. 利用的三解定理,作者得到了问题的三个弱解的存在性.

对于特殊情况变成了典型的问题.关于这类问题的研究成果相当丰富.

在问题中,当,方程是一个问题,即：

它来源于、等,参.关于含-增长条件的变分问题的研究是一个新颖而有趣的课题.利用的变分原理,研究了当时,方程三个弱解存在性的问;和研究了当时的条件下方程三解的存在;研究了方程并在文献[8,9]中得到类似的结果.

在文献[6]中,作者探究了如下问题：

这里是有界且有光滑边界的领域,是一个,是在上的连续函数,,我们用表示的.作者利用三解定理证明了问题.

统一和推广文献[2,6,7,10]中的它们拓展到更一般的情况.我们也同样采用的三解定理来得到方程的多解性.即如下定理：

定理A：设X是一个自反的巴拿赫空间,区间是一个序列弱下半连续的函数,且在的每个有限子集中有界,导数连续逆为;是有紧导数的泛函.

假设

对任意的.

存在使：

.

则存在一个非空开集,一个正实数满足以下性质：

任意的,泛函,对任意的,等式：

有至少三个小于的解.

利用文献[11]的结论,我们给出一个与定理等价的定理：

定理B：设一个自反的巴拿赫空间,区间是一个序列弱下半连续的函数,且在的每个有限子集中有界,导数连续逆为;R是有紧Gteaux导数的泛函. 假设

对任意的,使：

;

;

则存在非空集合,正实数满足以下性质：对任意的和紧导数泛函,存在,对任意的,以下方程：

在中至少有三个范数不大于的解.

2 预备知识

为了研究此类变指数问题,我们需要一些关于空间和的结论以及的相关性质.

对,定义

,

中定义范数为

,

那么即为巴拿赫空间,称为变指数空间.空间定义为

对任意的定义范数

由文献[12]可知是自反的可分离的凸巴拿赫空间.

我们给出如下命题：

命题2.1.是的共轭空间.对任意的,有：

命题2.2.定义,则对任意的,有

当满足,定义

其上范数定义为

则是巴拿赫空间.对任意的,

定义

容易发现,在中等价于,以后将在中用替代.

由命题有下列不等式：

命题2.3.假设的边界具有锥属性,.如果且对任意的,,则存在一个紧嵌入.

命题2.4.若是一个有界域,当时,嵌入是紧的,且存在一个依赖于的正常数,使得对于任意的,

从现在开始,定义为空间, 其中为在中的闭包.

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