中学数学中的不等式的证法

论文总字数：10515字

摘 要

不等式是数学基础理论的一个重要组成部分,它是现实世界中描述不等关系的数学模型,反映了事物之间量的关系,是最基本的数学关系之一.同时,不等式也广泛应用于物理等其他相关学科.本论文主要是对中学数学学习的不等式的证明方法进行归纳与总结.

关键词：不等式,证明,方法,总结

Abstract: Inequality is such an important in the foundations of mathematics. It is a model for describing the inequality in our real word to show us the comparison of the amounts of things, which is a very original mathematical relation. Meanwhile. inequality is also applied to some other science courses such as Physics. This essay is going to summarize the processes of certifications of middle school level inequality.

Keywords: Inequality,processes,certifications,summarize

在数学中,用不等符号将两个代数式连接所得到的式子就叫做不等式.它是刻画现实世界中量与量关系的重要工具,也是沟通数学学科中各部分内容的重要纽带.甚至在工作生活中也有广泛的用途,如解决概率论中的最优化问题.不等式是中学数学学习的重要内容,不等式知识积累的多少会影响到其他数学内容及相关学科的学习.但在不等式的证明过程中,不等式题目形式各异,内容丰富,证明方法多种多样,技巧性强,没有任何固定的套路可以遵循.学生如果想要熟练掌握不等式的证明方法,需要熟悉多种推理思想,善于根据题设和题中不等式的结构特点和内部关系,选择适当的方法,将待证的不等式逐步转化为已知的、直观地不等式,从而得出证明过程.因此,不等式的证明是综合考量学生逻辑思维能力及观察能力的重要标准,并且在历年中、高考中都占据着重要的地位,是中学数学的重难点之一.

所以,如果能对一些重要的不等式证明方法进行系统的归类总结,帮助学生理清不等式学习的思路,那么多多少少可以减少学生在不等式证明中走的弯路,也能让学生解题时更加得心应手.虽然不等式证明的方法不是固定的,但至少还有些许规律和章法可以寻迹,也有一些重要的数学思想可供依据,这里便将这几种思想方法做一个总结,以便读者参考.

1. 比较法

比较法是不等式证明中的一种最基本、用途最广的方法,也是最常见的方法之一.主要用于对两个或多个代数式的大小关系进行辨别.其中主要分为作差比较法和作商比较法.

1.1作差比较法：

将两边代数式作差变形,并将其与0比较大小.

所以要证,即证；要证,即证；要证,即证.

1.2做商比较法：

将两边代数式作商变形,并将其与1比较大小.由于商的性质,这里需要保证两式都大于零.

所以要证,即证 ；要证,即证 ；要证,即证 .

例1.求证：.

证明：法1：

=

法2：

=

.

例2.已知整数a、b,求证,当且仅当a=b时等号成立.

证明：法1：作差：,

如果, 则；

如果,则；

如果,则.

法2：作商： ,

如果,则 ；

如果,则 ；

如果,则 .

在用比较法证明不等式的过程中,比较的依据是作差/商,使用的主要手段是变形,判断符号才是最终的目的.而在这之中,变形又是最关键也是最难的一个步骤,解题的成败只取决于这一步.想要提高解题的成功率,熟练掌握配方法,如因式分解法和通分法等常用的变形方法便显得尤为重要.

1. 综合法

综合法证明不等式就是以某些已被证明且为人熟知的不等式作为基础,根据不等式的性质及恒等关系推导出欲证的不等式.综合法证明需要学生有丰富的知识储备和敏锐的观察力,包括需要熟悉各种公式定理,并且要能看出题设与已知不等式之间的联系,这对学生来说其实是不小的考验.

这些可以拿来直接用的不等式主要有：

1. 基本不等式：,及其衍化出的一系列不等式,
2. 三角不等式：.

例3.已知a、b、c、,求证 .

证明：因为

,

同理有 , ,

三式相加有 ,

即 .

例4：已知a、b,,求证： .

证明：法1：因为,

所以 ,

所以 ,

即有 ,

所以 .

法2：因为 ,,

所以 ,

当且仅当 时取得最大值 .

例5.已知 , ,,求证.

证明：

想要利用综合法,由因及果的证明不等式,需要有很强的观察力,能够发现条件与结论之间的因果关系.为此要提高自己分析已知条件与所要求证关系之间的差异和联系的能力.但综合法证明不等式的关键不在于此,而是在分析完题目内部的联系后,合理运用已知的条件,进行有效的变换.

3.分析法

与综合法相反,分析法是从求证的结果出发,由果索因,逐步分析使得不等式成立的条件,进而把不等式的证明转化为判断这些条件是否具备.如果具备,则不等式成立,反之则不等式不成立.这种逆向推导不等式证明过程的方法,我们把它叫做分析法.

例6.求证.

证明：要证,

即证 ,

即 ,

只需证明 ,

成立

所以 .

例7.已知函数 求证：

.

证明：要证原不等式成立,只需证明： ,

所以只要证

即证

因为

所以

即 成立.

4.换元法

换元法也是数学学习中的一个基本方法.它是指在不等式的证明过程中,位置量过于复杂,不等式过于冗长,并且结构生疏.这就要求我们对所证不等式的结构特点进行分析,寻找规律,采用整体思想对不等式中的变量做适当的代换,将不等式的结构变得简洁明朗,使其趋近于我们所熟悉的公式定理,这种方法我们称为换元法.换元法的目的是把不等式化简,化熟,把复杂的不熟悉的命题化为简单的熟悉的结构.

换元法在许多实际问题的解决中可以起到化难为易、化繁为简的作用,有些问题直接证明较为困难,但若通过换元法的思想与方法来解就很方便,换元法多用于条件不等式的证明中,一般有三角换元法,增量换元法,代数换元法,向量换元法等几种方法.下面我们就将对这几种方法逐一进行说明.^[1]

4.1三角换元法

在不等式中,若变量的取值范围与或的变化范围相同,或与诸如等此类三角函数相似,那么就可以采用引入三角函数的方法将原来的变量替换掉,使得原来复杂的不等式问题转化为一个三角不等式问题,从而利用三角函数的性质以及三角恒等式得到不等式的证明.

例8.已知,求证：

证明：令

则

因为 ,所以,

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