基本不等式的推广及应用

论文总字数：5787字

摘 要

：基本不等式在数学中具有十分重要的地位.从知识体系角度说，基本不等式本身就是一个重要的数学知识模块，而且还能与数学多个分支的知识融合；从思维能力角度说，基本不等式是创造性与严谨性的有机结合、发散性思维与收敛性思维的辩证统一.本文在基本不等式的推广的基础上，结合典型例题，探究基本不等式的应用.

关键词：基本不等式；推广；应用.

Abstract: Basic inequality has a very important position in mathematics. From the perspective of knowledge system, basic inequality own is the important mathematical knowledge module, what’s more, it can coalesce several branches of mathematical knowledge. From the perspective of thinking ability, basic inequality is the combination of creativity and rigor, the dialectical unity of divergent thinking and convergent thinking. Based on the basic inequality extension, this article explores the application of basic inequality combined with typical examples.

Key words: basic inequality; extension; application

目录

1 前言 ………………………………………………………………………4

2 基本不等式的推广 ………………………………………………………4

3 基本不等式的应用 ………………………………………………………4

3.1求变量范围………………………………………………………………5

3.2比较大小…………………………………………………………………6

3.3求最值……………………………………………………………………6

3.4证明不等式………………………………………………………………8

3.5证明等式…………………………………………………………………9

3.6解方程（组）……………………………………………………………9

3.7实际问题…………………………………………………………………11

4结论 ………………………………………………………………………13

5参考文献 …………………………………………………………………14

1 前言

基本不等式均匀对称，结构简单，两个正数通过加法、减法、除法和开方四种运算产生了它们的算术平均数和几何平均数的内在规律，实现了概念原理、符号语言、图形语言和自然语言的有机结合，数学之美、数学之趣、数学之简、数学之奇尽在其中，蕴含了丰富的数学文化特征和多样的数学智慧因素.基本不等式：若，则，当且仅当时，等号成立.其推论为若，则，当且仅当时，等号成立.若，则，当且仅当时，等号成立.其推论若，则，当且仅当时，等号成立（见文^[1]）.巧妙灵活的应用基本不等式，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，尤其是在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等方面有着广泛的应用.本文首先对基本不等式的几个推广进行阐述，然后通过几个例子对不等式的应用进行说明.

2 推广

推广1 将基本不等式从两个数、三个数推广到多个数以及它们之间的大小关系：

（，当且仅当时，等号成立，这几个数依次为调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数）

推广2 柯西不等式：设是实数，恒有

3 应用

基本不等式是一系列概念性很强的定理，在实际的运用过程中有几个注意点：第一，基本不等式中为正数，第二，解题过程中，题目中的数为实数时要分情况讨论；第三，使等号成立的充要条件是；第四，在解题的过程中，可能需要多次使用基本不等式，要注意几次使用基本不等式使等号成立的充要条件要同时满足.第五，在解题过程中，不可能是基本不等式的直接运用，大多数的时候需要将基本不等式进行适当合理的变形或者将题目中的式子进行变形凑成可以利用基本不等式解题的形式.（见文^[2]）

3.1. 求变量范围

在代数问题中间求变量范围这类问题比较常见，其中在数列问题中出现的比较多.首先会给出一个等式作为已知条件，再给出一个式子让你求出它的范围.

例1. 已知正数满足，且不等式恒成立，求的范围.

解析：通过观察可以发现，可以将不等式左侧的式子由二元均值不等式转化为，再通过整理可以得到该式子等于，然后通过柯西不等式转化为

最后得到的取值范围是

例2.（见文^[3]）若实数成等差数列，实数成等比数列，求的取值范围.

解析：由等差、等比数列的性质知，所求的式子就可以用

进行代换

接下来要分情况讨论 ， （1）当时，有，

，当且仅当时，取等号

（2）当时，有

，当且仅当时，取等号

综上：的取值范围是.

将题目中的已知条件进行转化，合并出新元或者转化为能够运用基本不等式放缩消元的形式.求取值范围时特别要注意使用基本不等式的条件.

3.2 比较大小

函数问题中经常会出现比较大小这类问题，如果仅仅根据函数的性质使用减或除的方法解决起来会比较麻烦，过程也比较繁琐.如果在其中运用基本不等式，那么解题的过程就会简化很多.

例3.（见文^[4]）已知函数，若，判断与的大小，并加以证明.

解析：

由基本不等式，得（当且仅当时，等号成立）

当时，有

即（当且仅当时，等号成立）

当时，有

即（当且仅当时，等号成立）

3.3 求最值

求最值问题中，普遍用到的方法就是基本不等式的运用.首先肯定需要观察题目中的式子是否可以通过变形运用到基本不等式，此类问题一般都需要进行一些转化，不会是基本不等式的直接运用.

例4. 已知实数满足，，试确定的最大值.

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