压缩映像原理与迭代法求解方程

论文总字数：4556字

摘 要

压缩映像原理是泛函分析中一个最常用、最简单的存在性定理。本文将压缩映像原理应用于代数中的高次方程求根、递推数列求极限、线性方程组求解，得到该问题解的存在性与唯一性，并且求出方程的解。这一方法的优点是在证明线性方程组的同时求出它的解。

关键词：压缩映像原理，迭代法，线性方程组

Abstract：Contraction mapping principle is functional analysis in a most commonly used, the most simple existence theorem. In this paper, the compressed image principle is applied to algebra equations of higher order roots, recursive sequence for the limit, solving linear equations, the solution existence and uniqueness, and calculate equation solution. The advantage of this method is in the proof of the linear equation group for its solution.

Keywords：Compressed image, iterative method, linear equation group

目 录

1 前言 ……………………………………………………………………… 4

2 压缩映像原理与迭代法…………………………………………………… 5

3 迭代法的应用 ……………………………………………………………… 6

结论 ……………………………………………………………………………10

参考文献…………………………………………………………………………11

1 前言

压缩映像原理概括了前人用逐次逼近法求解各类方程的方法,广泛地应用于希尔伯特空间规范正交系存在性、方程的存在性、隐函数存在定理等方面.它在飞速发展的非线性泛函分析理论占着重要组成部分,它密切联系着近代数学的许多分支.同时,它是一个最常用、最简单的存在性定理.特别是在建立各类方程解的存在唯一性问题中发挥着着显著的作用．

定理1（压缩映像原理）^[1] 设是一个完备度量空间,是到其自身的一个压缩映射,则是上存在唯一的不动点.

在1922波兰数学家巴拿赫（Banach）年提出压缩映像原理.在1892年3月30日的克拉科夫,巴拿赫诞生于这个世界；在1945年8月31日的沃夫,伟大的数学家巴拿赫永远的离开了这个世界.巴拿赫曾经在利沃夫工业大学和克拉科夫的买吉洛尼亚大学进行短期的自学.在1920年,凭着自身的奋斗,他获得了博士学位；在1922年,他在利沃夫大学担任讲师；在1927年,他获得教授职称,同时也是泛函分析的开创者之一.

在第二次世界大战期间,德国占领了波兰,巴拿赫在一所医学研究所工作,成为一名饲养昆虫的人员.停战后,他又回到利沃夫大学工作,并且成为利沃夫学派的开创人之一.

引进线性赋范空间概念是巴拿赫的主要工作,其上的线性算子理论是他建立的,泛函分析基础的三个定理（哈恩-巴拿赫延拓定理、巴拿赫-斯坦豪斯定理即共鸣之定理、闭图像定理）也是他证明的.许多经典的分析结果都被这些定理概括在内,与此同时,这些定理在理论上和应用上都有着显著的价值.通常人们把完备的线性赋范空间叫做巴拿赫空间.

此外,在实变函数论方面,一般测度问题是他与库拉托夫斯基在1929年一起合作解决的.在集合论方面,巴拿赫-塔尔斯基悖论也是他与塔尔斯基在1924年一起合作提出的.

迭代的过程是在数值分析中通过从一个初始估计出发寻找一系列近似解来解决问题（一般是高次方程求根或者解线性方程组）,为实现这一过程所使用的方法统称为迭代法（Iterative Method）.

迭代法也称辗转法,是一种不断用变量的旧值递推新值的过程,直接法与迭代法相对应,即一次性解决问题.迭代法通常分为精确迭代和近似迭代.迭代算法是一种用计算机解决问题的基本方法.它利用计算机适合做重复性操作、运算速度快的特点,让计算机对一定步骤（或一组指令）进行重复执行,在每次执行这些步骤（或这组指令）时,都从变量的原值推出它的一个新值.

2 压缩映像原理与迭代法

压缩映像原理在数学分析中求积分方程的解,证明常微分方程解的存在唯一性有着重要依据,在数值分析中代数方程求解的发挥着显著的作用.它是一个简单而常用的存在性定理,不但论证了方程解的存在性和唯一性,而且给出了求方程解的方法（逐次逼近法）,也就是迭代法.

迭代法是数值计算中的一类典型方法,不仅用于方程求根,而且用于高次方程求根线性方程组求解等许多问题.

迭代法的基本思想是一种逐次逼近的方法,首先取一个粗糙的近似值，然后用同一个递推公式,反复校正这个初值，直到满足给定的精度为止.

定义1.^[2]如果定义在有限区间上的函数满足下列两个条件,就说是区间上的压缩映像.（１）当时,就有;（２）只要都属于区间,就有,其中是小于1的正实数,称为压缩系数.

定理2.^[3]如果是有限区间上的压缩映像,则（1）当时,;

（2）当任意,存在,使,则方程在上有唯一的,且对任意初值时,迭代序列收敛于,且有下列误差估计

.

定理3.^[4]设的根的邻域中有连续的一阶导数,且,则迭代过程具有局部收敛性.

定理4.^[5]设是维Euclidean空间,是给定的实矩阵,是中给定的向量,则线性方程组有唯一解的充分条件是:正定，其中是单位矩阵.

定义2.设所给方程组为

（1）

其中，是阶方阵，是已知身量，是未知向量。任取代入（1）的右端，算得的结果记为，再以代入（1）的右端，算得的结果记为，如此进行下去，便得迭代格式

（2）

此格式称为Jacobi迭代格式，称为迭代矩阵。

3 迭代法的应用

压缩映像原理与迭代法在数学中有广泛的运用,一般用于数学分析中的递推数列极限和代数中的高次方程求根与线性方程组求解等方面.

1. 高次方程求根

例1.求方程在内的根,精确到.

解 将方程变形,因为在内为增函数,所以 满足收敛条件.

取,算得

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