一类三种群捕食者—食饵系统的定性分析

论文总字数：3498字

摘 要

生态学是研究生物体与它们周围环境之间关系的一门科学，它主要研究生物的生存条件，生物种群与环境之间相互作用的过程及规律. 本文将讨论一类三种群捕食者一食饵系统，给出该系统持久性的条件以及平衡点存在性的条件，并利用Hurwitz判据研究系统平衡点的渐近稳定性.

关键词：捕食者一食饵系统， 持久性， 平衡点， 稳定性

Abstract: Ecology is the study of relationships between organisms and their environment. It is mainly to study the living conditions, between biological population and environment mutual function process and law. In this paper, we investigate a three species predator-prey system. We give the conditions of persistence and the existence of equilibrium, and study the asymptotic stability of system by Hurwitz criterion .

Key words: Prey-predator system, Persistence, Equilibrium, Stability

目录

1引言………………………………………………………………………………… 4

2 预备知识………………………………………………………………………4

3 主要结果 ……………………………………………………………………………6

3.1持久性…………………………………………………………………………6

3.2 平衡点的存在性……………………………………………………………………9

3.3边界平衡点的稳定性……………………………………………………………11

参考文献………………………………………………………………………………13

1 引言

生物种群是当今生态学和经济学研究的重点,中外专家学者对如何正确的理解和运用种群的增殖规律进行了深入研究.有很多关于三种群捕食系统的分析,文[1]中对一类三种群捕食模型的正解进行了分析,给出了模型正解的存在性,稳定性,唯一性或多解性结果.文[2]中对具有反馈控制的三种群捕食系统的持久性进行了分析,得到了相应的周期模型正解的的存在唯一性且全局稳定性的充分条件.文[3]中对具有收获率的三种群捕食模型的定性分析进行分析,得到了模型唯一正平衡点是渐进稳定的.文[4]中对具有反馈控制的基于比率的三种群捕食模型的渐进性进行了分析,得到了相应的周期系统正解的存在唯一及全局渐进的充分条件.在本文中我们将研究下面的一类三种群捕食者-食饵系统模型

（1.1）

其中表示食饵的密度,表示一级捕食者的密度,表示最高级捕食者的密度,表示一级捕食者的净死亡率,表示最高级捕食者的净死亡率,反应函数表示对的捕食能力,相应地表示对的捕食能力,表示食物转化的自身增长率,相应地表示转化为的自身增长率,可以看到三种群之间的关系,只捕食,只捕食,这就是所谓的简单食物链.

2 预备知识

本节给出本文所需的一些预备知识.

定义 对于二维自治系统

若点使，则称为系统的平衡

点，或者称为奇点。

定义 对常系数齐次线性系统

它的向量形式是

其中，

如果用分别表示矩阵的迹和行列式，并且设, 则对于系统的平衡点,

1. 当时，称 为初等奇点；

1. 当时，称为高次奇点.

初等奇点分类如下：

1. 当时,平衡点为鞍点;

1. 当,时，平衡点为稳定(不稳定)结点;

1. 当时，平衡点为稳定（不稳定）焦点;

1. 当时，平衡点为中心.

引理 常系数线性微分方程组

其中

，.

显然是（2.4）的平衡点.如果矩阵的所有特征值都具有负实部，则方程组（2.4）的平衡点是渐近稳定的.

引理（Hurwitz判据）设有次代数方程

它的一切根具有负实部的充要条件是下列不等式同时成立

其中，当时，.

引理 (比较原理) 设 和都是在平面区域上连续的纯量函数且满足不等式：

若分别是一阶方程

和

解，则必有

（1），当且属于两者共同存在的区间时；

(2) ，当且属于两者共同存在的区间时.

3 主要结果

本节我们给出本文的主要结果，包括模型(1.1)解的一致持久性，平衡点的存在性和稳定性.

3.1 持久性

定义3.1 若存在正常数，使得系统(1.1)的任意解都有

，

则称系统(1.1)为持久的.

定理3.1 若满足以下条件：

（1）

（2）

（3）

则系统（1.1）是持久的.

证明：满足下列不等式

因方程的解为，从而

由比较原理可得

任给,当时,有因此有

因方程的解为从而

由比较原理可得

任给,存在,当时,有.因此有

因方程的解为从而

由比较原理可得

另一方面，

故解方程 得从而

由比较原理可得

.

由于,故. 任给，当时有,因此有

可得

因为，故，，

任给，，当时，有

因此有

故解方程

得.

从而

由比较原理可得

因为，故 得证.

3.2.平衡点的存在性

系统（1.1）的平衡点的坐标是以下方程组的解：

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