论文总字数：6835字

摘 要

关键词：分块矩阵,初等变换,矩阵的秩,矩阵的逆

Abstract：Block matrix as a matrix of an application skills, has a unique importance, it is based on this idea, the paper introduces the concept and nature of the block matrix,and it also introduced the elementary transformation of block matrix and emphatically introduces the block matrix in solving the value of the determinant of the matrix and the high order matrix inverse.It has a important role in the proof of matrix rank in a variety of applications.

Keywords: block matrix,elementary transformation,matrix rank,matrix inverse

目 录

1 引言 4

2 分块矩阵概念和性质 4

2.1 分块矩阵的定义与运算 4

2.2 分块矩阵的初等变换的性质 5

3 分块矩阵的应用 7

3.1 求解线性方程组 7

3.2 在求解矩阵行列式和逆上的应用 7

3.3 在矩阵秩方面的运用 11

3.4 分块矩阵证明实二次型的矩阵的相关问题 12

3.5 分块矩阵在矩阵有关特征值问题中的应用 14

3.6 分块矩阵在线性空间上的应用 14

结论 16

参考文献 17

1 引言

矩阵是数学中最重要的基本概念之一，是代数学的一个重要的研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具，可用于在统计数据和表示出数据关联性等.矩阵其本身所具有的一些性质依赖于矩阵中元素的性质，运用于现代科学技术的各个方面，各个领域.同时矩阵在数学中也作为一个重要的工具有着重要的实用价值，在线性代数，线性规划，组合数学，统计分析等中是重要内容，许多的问题都要借助于矩阵表达出来从而加以解决，在计算机上也有很多重要应用.矩阵的概念我们都有一定的了解，但在矩阵的应用和运算方面仍然有很多的问题需要研究，特别是在矩阵阶数较大时在进行运算，计算出来会很繁琐，这样我们就引入分块矩阵的相关内容,以及相应的一些性质定理.

矩阵元素一般是数，而相对于分块矩阵来说是将一般矩阵的元素分块，所分的每一小块可以看作新矩阵的新元素，基于这种独特的做法，原矩阵可以转化新的结构更加简明清楚的矩阵，让本来阶数较高的矩阵降低了阶数.同时矩阵的运算通过它们的分块形式来进行，从而使得运算形式变得简单，而且可以使得有关矩阵的理论问题和实际问题变得易于解决.同时有些矩阵问题只有经过适当的分块才可以得到解决，这就更加突出矩阵分块的重要性.

对应于本科阶段所学习的普通矩阵的相关内容和一般矩阵相应概念、性质、相关的问题和应用等,本文主要从分块矩阵相关概念，运算性质及分块矩阵的相关应用三个方面来阐述.

2 分块矩阵概念和性质

我们在普通矩阵上作分块得到分块矩阵，那么下面对分块矩阵概念符号表示做出准确叙述.应注意本文所涉及的矩阵都是在数域上.

2.1 分块矩阵的定义与运算

定义1^[1]将一个矩阵用若干条横线和竖线分成许多个小矩阵，将每个小矩阵称为这个矩阵的子块，以子块为元素的形式上的矩阵就称为分块矩阵.

定义2^[2]设是由行列子矩阵所构成分块矩的阵,表示为

,

其中是一个×矩阵，称为分块矩阵.

在一般矩阵中有些特殊形式的矩阵，例如对角矩阵，上三角矩阵和下三角矩阵等，那么分块矩阵作为特殊形式的矩阵，它也有一些相应的特殊的分块相应地有对角分块矩阵，上三角分块矩阵,下三角分块矩阵.

对应于一般矩阵已定义了加法，数乘，转置以及乘法运算分块矩阵的运算也与之相一致,分别是加法，数乘，乘法和转置运算.根据文章需要主要介绍乘法运算.

乘法运算所设，都是矩阵，并且对，用同样的方法进行分块成下式：

=，=

则=，其中=

我们已经学习了一般矩阵初等变换以及初等变换与矩阵乘法的联系.同样我们来探究一下分块矩阵是否有与初等变换相类似的性质.

2.2 分块矩阵的初等变换的性质

为方便起见，下以形分块矩阵进行说明，一般分块矩阵可类似说明.

定义3^[3] 由单位分块矩阵经过一次分块初等变换所得到的矩阵称为分块初等矩阵.

以形式可得分块初等矩阵以下三种形式：

一般矩阵已经定义了初等变换，类似的，分块矩阵也有三种基本变换：

(1) 互换分块矩阵的某两行(列)；

(2) 用一个非奇异阵（可逆阵）左(右)乘分块矩阵的某一行（列）；

(3)用一个非零阵左（右）乘分块矩阵的某一行（列）加至另一行（列）上；

定理 对×分块矩阵作初等行（列）变换时对应于左（右）乘上分块初等矩阵.

例1 对进行三种初等行变换.

解 互换两行 =，

第一行乘=，

第二行的倍行加到第一行.

以上结果说明对作分块初等行变换对应于左乘分块初等矩阵，且可以验证对作分块初等列变换对应于右乘分块初等矩阵.

下面一些性质在后面应用中用到

引理1 其中都是阶矩阵.

引理2 分别为阶矩阵，阶矩阵.

引理3^[4]分块矩阵，其中分别是形矩阵.

（），有结论：是非奇异矩阵则等价于：分块矩阵经过有限次初等变换化为则有.

引理5^[5]为矩阵，将分成分块矩阵，且行分法与列分发一致，则可将分块矩阵子块看作元素所成的一般矩阵所对应的合同变换三种形式相同，只是这里矩阵元素是小矩阵.则成为分块矩阵的合同变换.

引理6^[5]为矩阵，将分成分块矩阵，且行分法与列分发一致，经有限次分块矩阵的合同变化得到，那么与合同.

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