几个特殊矩阵的行列式

论文总字数：4399字

摘 要

关键词：行列式，矩阵，分块矩阵

Abstract：In this paper, according to the definition of determinant and related properties ,the calculation method of arrowdeterminant, the double determinant, a class of symmetric determinant, Hessenberg determinant, a class of generalized Vandermonde determinant, generalized cyclic matrix determinant and a sub block matrix determinant were summarized.

Keywords：determinant,matrix,block matrix

目 录

1 引言………………………………………………………………………………5

2 箭形行列式和双线型行列式………………………………………………5

2.1箭形行列式……………………………………………………………………………5

2.2双线型行列式……………………………………………………………………7

3 一类对称行列式……………………………………………………………7

4 Hessenberg型行列式…………………………………………………11

5 一类广义Vandermonde行列式……………………………………………12

6 广义循环矩阵的行列式……………………………………………………14

7 一类分块矩阵的行列式……………………………………………………15

结论…………………………………………………………………………………18

参考文献……………………………………………………………………………19

1 引言

行列式的概念最早是跟随着方程组的求解而发展起来的，在线性代数中，行列式是重要的研究对象，也是重要的数学工具和概念之一.

行列式最早出现于十七世纪，它最开始的雏形是由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自得出的，虽然他们提出行列式的时间相差132年但是主要内容大致相同.在十九世纪之后，行列式的理论受到更多学者的青睐，使其得到更深的发展，它的内容和形式也进一步完善.后来随着矩阵概念的提出使得越来越多的行列式的性质被发现提出，行列式的意义和作用也在诸多领域逐渐凸显出其重要性.不论是在顶尖的高新科技领域，还是在日常工农生产、工程建筑或经济管理中都有着非常宽泛的应用.

迄今为止行列式理论在现实中的应用却远远不止这些，它在矩阵论、坐标变换、消元法、多重积分中的变量替换、将二次型化简为标准型、运筹学中线性规划和图与网络理论等诸多的问题中都有广泛的应用，但是行列式的这些应用最后都离不开行列式的计算，行列式的计算在行列式理论中是基础的也是最为重要问题.

按照行列式的定义，对任意一个行列式都可以通过定义进行计算，然而直接按照定义来计算，由于一些高阶行列式或数字过大的行列式直接计算是非常困难的，对于这类行列式不借助于计算机直接计算往往不太现实.所以行列式的计算具有非常强的技巧性，经过诸多学者的不懈研究，得到许多结论.高阶行列式的基本计算方法和技巧大致可总结为“化零”和“降阶”，即先根据行列式的性质做一些恒等变换来化简，使行列式中有更多的零元素，再利用一些特殊的行列式来计算.譬如利用上( 下) 三角行列式或者利用按行( 列) 展开的定理来降低行列式的级数.本文则总结归纳了几类特殊的行列式以及这些行列式的一种基本的解法，通过对这些特殊行列式解法的总结，以期熟练掌握行列式计算方法从而达到应用行列式解决一些问题的目的.

2 箭形行列式和双线型行列式

2.1 箭形行列式

一般地，形如以下形式的行列式

，，，

即形状像个箭头的行列式，称它们是箭形行列式.

对于此类行列式，通常利用对角线来消去行列式中的一行或者一列，从而将行列式转化为上三角或者下三角行列式进行计算.

例1 计算下面行列式

解 这是一个标准的箭形行列式，按照上述计算方法将的第列乘以然后加到第一列得，

.

还有一些行列式利用行列式的性质可将其转化为箭形的行列式，对于这类行列式则先转化为箭形行列式，再按上述做法解题.

例2 计算级行列式

，其中

解 将的第一行乘以-1后加到其余各行，可将行列式化为箭形行列式,然后用上述计算方法可解得

2.2 双线型行列式

一般地，形如以下的行列式

，

即对角线上的值看起来像两条平行线的行列式，称为双线型行列式.

对于此类行列式只需按照第一列或者最后一列展开即可计算出结果.

例3 计算级行列式

解 依据上述解法，按第一列展开得

3 一类对称行列式

行列式的元素以主对角线为对称轴对应相等的行列式成为对称行列式.本文给出一类形如

（）

的级对称行列式的计算方法，为了计算的值，引入下面引理1和定理1.

引理1

证明 设分块矩阵

由分块矩阵的乘法运算得

两边取行列式，有

同理

两边取行列式，有

由

可得

即

证毕.

定理1 设，则级对称行列式

证明 由于，故有

令

则

由上述引理1可得，

证毕.

例4 计算下面行列式

解 利用定理1，令取，则

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