高考数学中的不等式

论文总字数：8652字

摘 要

关键词: 不等式，均值不等式，证明方法，数学思想 

Abstract: Inequality has become an important component of secondary school mathematics, since the inequality is playing an increasingly significant role in the National Matriculation Test(NMT). This paper sums up the contents of inequality including the rudimentary knowledge, method of proof and mathematic thoughts.

Key words: inequality, mean inequality, method of proof, mathematic thoughts

目 录

1 引言 ………………………………………………………… 4

2 不等式的基础知识 ………………………………………… 5

3 不等式的两种重要题型 …………………………………… 9

4 不等式的证明方法 ………………………………………… 10

5 不等式中的数学思想 ……………………………………… 15

结论 …………………………………………………………… 18

参考文献 ……………………………………………………… 19

1. 引言

众所周知，在自然界中有着大量的不等关系，不等关系是基本的数学关系.这些不等关系在数学研究和数学应用中有着重要的作用. 因此，研究不等式的有关知识显得非常重要. 不等式不是孤立存在的，在函数，数列，解析几何，向量，几乎所有的数学都是有不等式的知识的，可以说贯穿了整个高中数学. 就算是大学里面的微积分，不等式也是证明的利器. 高考中单独考不等式可能不多，但是大部分题里面都会体现，所以不等式在高考中占有十分重要的地位.

在近年的高考中，不等式的考查形式有选择题、填空题、解答题，不仅考查不等式的基础知识，基本技能，基本方法，而且还考查了分析问题、解决问题的能力.解答题以函数、不等式、数列导数相交汇处命题，函数与不等式相结合的题多以导数的处理方式解答，函数不等式相结合的题目，多是先以直觉思维方式定方向，以递推、数学归纳法等方法解决，具有一定的灵活性. 由上述分析，预计不等式的性质，不等式的解法及重要不等知识将以选择题或填空的形式出现；解答题可能出现解不等与证不等式. 如果是解不等式含参数的不等式可能性比较大，如果是证明题将是不等式与数列、函数、导数、向量等相结合的综合问题，用导数解答这类问题仍然值得重视，有时属高难度的题.

不等式的证明题题型多变，证明思路多样，技巧性较强，加之又没有一劳永逸、放之四海而皆准的程序可循，所以不等式的证明是难点. 攻克难点的关键是熟练掌握不等式的性质和基本不等式，并深刻理解和领会不等式证明中的数学转化思想.在高考复习阶段应掌握证明不等式的常用思想方法有比较法、综合法、分析法、放缩法、反证法、函数法、换元法、导数法. 注意培养、强化与提高函数与方程、等价转化、分类讨论、数形结合的数学思想和方法，逐步提升数学素养，提高分析解决综合问题的能力.能根椐各类不等式的特点，变形的特殊性，归纳出各类不等式的解法和思路以及具体解法. 熟练掌握不等式的基本性质,常见不等式的解法，不等式在实际问题中的应用，不等式的常用证明方法.

不等式的相关知识既是高中数学学习的重点，也是难点. 无论是求最值，还是确定参变量的取值范围，都要运用不等式的相关知识，所以很有必要对不等式的计算与证明方法作一个科学、全面的总结. 许多数学研究者在此领域内取得了非常高的成就，总结出来了许多不等式计算与证明的方法，本文就是在他们的成就之上对各种方法进行归纳和总结.

学习不等式的相关知识，首先要熟悉掌握不等式的基本内容，那么下面就先从不等式的基础知识开始总结.

2 不等式的基础知识

2.1 不等式的概念及性质

用不等号表示不等关系的式子叫做不等式. 用“”或“”连接的不等式，叫做严格不等式；用“”或“”连接的不等式，叫做非严格不等式.由不等式的基本概念可以得出它的一些基本性质，例如对称性,传递性,可加性

，

可乘性

倒数法则

.

从可乘性开始，高考数学对不等式相关知识的考察就加大了难度，关于可乘性也不像给出的公式这样简单，那么我们就要观察题中给出数值的大小及范围再进行解答，例如下面这道高考题中给出的字母的取值范围就不相同.

例1(2014四川卷) 若，，则一定有(　　).

A. B. C. D.

解析 由题意

，

可得

，

我们可以利用不等式的可乘性，得到

这样就得到正确答案为B.

本题主要考察对不等式可乘性的理解，通过变形就可以得到最简单的形式，需要注意的是在计算的过程中要正确实现符号的转换. 当然，本题也是高考题中比较简单的类型，下面我们来看一道将不等式基本性质与其他知识结合到一起的高考题.

例2 (2014山东卷) 已知实数满足

，

则下列关系式恒成立的是( ).

A. B. C. D.

解析 本题涉及到的知识点有指数函数、对数函数、三角函数等，这也是对高中基础知识的综合性考察.

由题意，

，

根据指数函数的基本性质可得

.

那么先来看A、B选项，虽然已知但是由于的具体取值不知，所以我们无法确定的大小，例如当

，

又如当

，

因此无法比较A、B的大小，则排除A、B.

又因为是周期函数，所以排除C. 对于

是恒成立的，所以正确答案为D.

这道题很巧妙的将不等式与其他函数的基本性质联系到一起，看似内容很多，但都是一些基础知识，在解题过程中要考虑全面同时也要注意计算的正确性.

以上是对不等式的基本性质的一些总结，但在高中数学中有着一种更为重要，考察频率更高的不等式形式，那就是基本不等式.相信大家对基本不等式并不陌生，但是你们对基本不等式有系统的认识吗? 下面我们就对高中数学学习范围内的基本不等式进行全面的讲解.

2.2基本不等式

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