论文总字数：4559字

摘 要

关键词：矩阵，初等变换,方程组，线性相关，标准形

Abstract: In this paper, based on the correlation property of elementary transformation of matrix, the applications of elementary transformation of matrix in the solution of linear equations, the judgment of linear correlation of vector group, solving the matrix equation, changing quadratic form as the standard form and solving the polynomial greatest common factor are summarized.

Keywords: matrix, elementary transformation, equations, linear correlation, standard

目 录

1 引言 4

2 利用矩阵初等变换解线性方程组 4

3 利用矩阵初等变换判断向量组的线性相关 6

4 利用矩阵初等变换解矩阵方程 8

5 利用矩阵初等变换化二次型为标准形 9

6 利用矩阵初等变换求多项式的最大公因式 11

结 论 13

参 考 文 献 14

1 引言

设

，

为数域上的一个矩阵，则数域上矩阵的初等行(列)变换是指：

（1）以中一个非零数乘矩阵的某一行（列）；

（2）把矩阵的某一行（列）的倍,加到另一行（列），这里是中任意一个数；

（3）交换矩阵中两行（列）的位置.

矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换.习惯地，我们常使用以下记号来表示矩阵的初等变换：

（1）非零常数乘矩阵的第行(第列)，记作（）；

（2）矩阵的第行(列)加上第行(列)的倍，记作（）；

（3）交换矩阵的第行(列)与第行(列),记作（）.

本文总结了矩阵的初等变换在解线性方程组、判断向量组的线性相关、解矩阵方程、化二次型为标准型以及求多项式的最大公因式上的若干应用.

2 利用矩阵初等变换解线性方程组

所谓线性方程组是指形为

（1）

的方程组. 其中，当=0时，称（1）为齐次线性方程组；当不全为零时，称（1）为非齐次线性方程组.一般地，记，，

，则齐次线性方程组可写成矩阵形式，非齐次线性方程组可写成矩阵形式.

定理2.1^[1] 设，元齐次线性方程组，则方程组

（1）有非零解的充分必要条件是；

（2）只有零解的充分必要条件是.

定理2.2^[1] 设，元非其次线性方程组,则方程组

（1）无解的充分必要条件是；

（2）有惟一解的充分必要条件是；

（3）有无限多解的充分必要条件是.

因此，利用定理可以判断线性方程组解的存在状况：

（1）先求出线性方程组的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩；

（2）比较与的大小.当时，方程组无解；当时，方程组有唯一解；当时，方程组有无穷多解.

例1 设齐次线性方程组

其中.试讨论为何值时，方程组仅有零解，有无穷多解.

解 设方程组的系数矩阵为，则

，

当，时，，方程组仅有零解；

当，时，，方程组有无穷多解；

当，时，，方程组有无穷多解；

当，时，，方程组有无穷多解.

解线性方程组的基本步骤包括：

（1）对线性方程组的增广矩阵作初等行变换，将其化为阶梯形矩阵，用系数矩阵的秩和增广矩阵的秩确定方程组有没有解；

（2）当方程组有解时，继续对增广矩阵作初等行变换，将其化为最简形矩阵，用系数矩阵的秩和未知量的个数确定方程组有多少解；

（3）当方程组有无穷多解时，选定自由未知量，并对自由未知量赋值，求出所有解.

例2 设有齐次线性方程组

，，

问取何值时，方程组有非零解，并求出通解.

解 对方程组的系数矩阵作初等行变换，有

.

当=0时，，方程组有非零解，其同解方程组为

，

由此得出基础解系为

，

于是方程组的通解为

，

其中为任意常数.当时，对作初等行变换，有

，

可知，当时，，所以方程组有非零解，其同解方程组为

因此，方程组的基础解系为

，

于是，方程组的通解为

，其中为任意常数.

3 利用矩阵初等变换判断向量组的线性相关

定义3.1^[2] 若向量组中，有一个向量可以由其余的向量线性表出，那么向量组是线性相关的.

定理3.1^[2] 设向量组线性无关，向量组线性相关，则可由向量组线性表出，且表示法唯一.

定义3.2^[1] 设有两个向量组

，

若向量组中的每一个向量，都能由向量组线性表示，则称向量组能由向量组线性表示.若向量组与向量组能相互线性表示，则称这两个向量组等价.

要使得向量组线性相关，实际上就是判断方程组是否有零解.因此，判断向量组线性相关还是线性无关的方法为^[3]：

1. 将向量组以列排成矩阵；
2. 对矩阵进行初等行变换，得出矩阵的秩；
3. 比较和的大小，若，则方程组有非零解，向量组线性相关；若，则方程组只有零解，向量组线性无关.

另一种判断向量组是否线性相关的方法为：

1. 将向量组以行排成矩阵；
2. 对矩阵进行初等行变换，得出阶梯型矩阵；
3. 若矩阵中出现零行，则向量组线性相关；若矩阵中不出现零行，则向量组线性无关.

例3 判断向量组的线性相关性.

解 将以行排成矩阵，则

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