贝赛尔函数性质总结及研究

论文总字数：5497字

摘 要

关键词：贝塞尔函数，性质，应用

Abstract：Bessel function has been widely used in many scientific branches, which occupy important position in mathematics. This paper mainly introduces the definition of Bessel functions, summarizes some main properties of Bessel functions, and gives the related theorem of Bessel function .

Keywords： Bessel function, properties, applications

1引言

Bessel函数首先由数学家 Daniel Bernoulli定义，然后由Friedrich Bessel推广的一类重要的特殊函数，其被广泛应用于许多学科领域，例如理论物理、应用数学、地质电磁学、电磁场工程、大气科学、海洋科学、环境科学、电工、无线电等。它是工程和科学人员投入理论研究工作中经常会遇到的数学函数，特别是在波的传播和静态电位的许多问题中，如

1）在圆柱形波导中的电磁波

2）压力幅值无旋流动

3）在圆柱形物体中的热传导

4）对薄圆振动模式（或环）声膜（如鼓或其他乐器）

5）在晶格上扩散问题

6）在圆形管道中的频率依赖性摩擦

7）浮体动力学

8）角分辨率

Bessel函数在信号处理领域也有广泛的应用，如调频合成、Kaiser窗及Bessel滤波器。

2 Bessel函数定义

数学中经常遇到的二阶常微分方程

(1)

称上式为阶Bessel方程.

求Bessel方程的特解时，我们常假定特解可以表为幂级数乘以的形式：

(2)

设定常数和各系数，使得级数满足Bessel方程，将这级数对微分并代入(1)，得到

除以然后合并同类项，得到

若要上式为恒等式，等号左边的各系数必须为0。若，常数项为0；若，第二项为0；若

或

其余各项为0。上式是系数间的递推公式，把表以，表以，依次类推。

当时，不妨先假设，这时递推公式为

(3)

因为，代入(3)式可得，同样，，综上有

(4)

用代替 (3)中的，当不是负整数时，可得

由代替上式中的，由于常数是任意的，故当时，

又因为

可以推出下面式子：

故有 (5)

将 (4)和 (5)所求出的系数代入 (2)中，所得函数就是级Bessel方程的一个特解，我们称其为阶第一类Bessel函数，记作：

(6)

由比值判别法可得，方括号里的级数，对于所有绝对收敛，但是当不是0或正整数时，因为因子，函数或它的某阶导数可能在点处无意义。

另设，同上可得，如果不是正整数，可以得到方程（1）的两个级数解，即

综上，不是正负整数也不是0时，得到方程 (1)的两个特解和，显然它们之间不是相差一个常数因子，所以它们是线性无关的，得Bessel方程的通解为

(7)

这里，为任意常数。

3 Bessel函数的性质

3.1级数表达式

本节考虑一类特殊的Bessel函数：和，它们的级数表达式分别为

， (8)

. (9)

将的级数对逐项微分，能够得到等式为

(10)

同上，乘后再将其逐项微分，又得到等式为

(11)

当是负整数时，(6)能够用来定义负整数级的第一类Bessel函数.当，（为正整数）时，式(6)可以写为

(12)

由此可见当是负整数时，是Bessel方程的特解，当为奇数时与符号相反。

当不是整数时，我们有Bessel方程的通解公式(7)；但当是整数时，我们只求得方程的一个特解 。若要求出Bessel方程的通解，就必须有另一个特解---第二类Bessel函数。第二类Bessel函数是含有对数的比较复杂的函数，它在处成为无界，一般在实际问题中弃置不用，此处不予论及。

3.2 正交性

因为是Bessel方程的一个特解，所以

作替换（为参数），上式方程成为

即满足下面形式的Bessel方程

(13)

因为有无穷个正根， 所以，如果（这里为大于0的常数）就有，令为对应于的值，即

我们得到对应的一组Bessel函数，。这些函数分别是当参数时方程(13)的解。下面的定理说明了这组函数的正交性。

定理1 设为方程

(14)

的正根，则函数组，在区间内为对于权函数成正交，即

(15)

证 对于方程(14)的任意两个不等的正根，，对应的函数，满足方程(13)，所以有

，

.

用乘第二个等式，用乘第一个等式，两式相减然后自0到对积分，可有

(16)

右边方括号内的式子当用上限代入，因为等式(14)，所得值为0；当用下限代入其所得值也为0，这是因为即使导数在该点不连续，但由于，直接由的级数可以看出数当时，仍然为0.于是，式子(16)的右边为0，左边的因式，这就证得公式(15)，正交性获证。

注意到如取方程（14）的负根，对应的函数这不需要另外给出一个新的函数。

定理2 设 为方程

（，常数） (1)7

的非负根，这里导数是对而取的，则函数组，，…在区间内为对于权函数成正交，即

(18)

证 同上面一样，我们也得到式(16)，式(16)的右边当用代入其值为0，故当用代入，(16)式成为

利用方程(17)立即得出这等式右边为0，从而定理得证。

在此情形下，我们也注意到方程(17)的负根不另引进新的函数，事实上，应用关系式

可把方程(17)写成

(17’)

这就易于看出如为根，也为根，因而负根不另给出新的函数。 更有进者，如为方程(17)的一个根，则由(17’)得到或。在第一种情况下，对应于根的函数恒为0；在第二种情况中，，仅在这时才有对应于根的一个新的函数。

定理3 如果为方程(14)的根，则

，； (19)

如果为方程(17)的根，则

， (20)

证 用乘Bessel方程(13)，这结果可写成

自0到积分并对第二项应用分部积分法得到

对于方括号内第一项应用关系式

，

就有

因设，等式右端的方括号内的式子在下限时为0，以上限代入，即得

.

由此，当为方程(14)的根时，立即得到公式(19)；当为方程(17)的根时，利用方程(17’)也不难得到(20)，定理证毕。

3.3 函数展开式

设为正交的Bessel函数组,现在要把已给函数在区间内展开为这组函数的级数。为此，假定函数满足一定条件（后面将指出一个收敛的充要条件）并假定它在区间内可以表为下列形式的级数

， (21)

下面来确定其中系数。

以乘(1)式的两边并从0到对积分，如果逐项积分是允许的，则由函数组的正交性，得到系数

(22)

由此，根据前面定理3中的公式(19)和(20)，分别有下列两种结果：

1)设，，…为方程

的按增大次序排列的正根，则

； (23)

2)设，，…为方程

（，）

的按增大次序排列的正根，则

(24)

在特殊情况下，取零根为，对应的系数为

用(23)或(24)所确定的系数代入级数(21)，这级数称为对应于的Fourier-Bessel展开式。

如果函数及其导数均在区间内分段连续，或者在区间内分段连续且只有有限个极大极小，则级数

在区间内收敛，其中系数是由公式(23)或(24)所确定的。

当为的连续点时，级数收敛于。

当为的第一类间断点时，级数收敛于左右极限的等差中值

，

如果在第一类间断点处函数值是它的等差中值，那么函数就可表为对应的Fourier-Bessel展开式

，.

结 论

Bessel函数在许多科学邻域有着广泛的应用。本篇论文主要列出了Bessel函数的推到过程及其一些主要性质。如级数表达式﹑正交性﹑函数展开式及一些定理。贝塞尔函数的应用非常广泛与综合，限于篇幅和学术水平，还有一些并未写出。

参 考 文 献

[1] 奚定平.贝塞尔函数[M].北京：高等教育出版社,1998:29-53

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