分式不等式证明中变形技巧

论文总字数：7072字

摘 要

分式不等式的学习在中学课程中占有十分重要的地位，对分式不等式的变形又是证明分式不等式的关键。本文总结了分式不等式证明中常用的几种变形技巧，包括放缩、巧化分母与分子、化为对称式、换元、构造向量、拆分等技巧，达到快速，简便地解决分式不等式的证明问题的目的.

关键词：分式不等式，变形技巧，放缩，构造向量

Abstract:In this paper,we know that fractional inequality is very important in middle school.It summarizes several different deforming skills in solving the fractional inequality, including zooming, the numerator,substituting, structuring vectors and so on . we can solve fractional inequality problems simply and fast .

关键词：分式不等式；变形技巧；放缩；构造向量；拆分；数列；

Key words: fractional inequality, deforming skills, zooming, structure vectors

目 录

1 引言…………………………………………………………………4

2分式不等式的常用变形技巧………………………………………4

2.1适当放缩，简化分式……………………………………………4

2.2巧化分子或分母……………………………………………7

2.3 对称等式有助证明………………………………………… ·10

2.4 通过换元，化繁为简……………………………………………11

2.5 构造向量，简化不等式…………………………………………12

2.6 巧化数列 ………………………………………………·14

2.7 拆分，化分式为整式…………………………………………·15

3.总结…………………………………………………………………·17

参考文献………………………………………………………………18致谢……………………………………………………………………19

1.引言

分式不等式的证明在整个中学以及高校学习中都占据着非常重要的地位，在中学数学学习中是学生学习的重点，近几年的高考题目以及高校竞赛中也逐年加强了对分式不等式的证明考察，但是有些分式不等式由于自身的特殊性，证明过程中经常会遇到困难，本文着力以具体例题说明分式不等式证明过程中的变形技巧。

2.分式不等式的常用变形技巧

几种常见的放缩变形方法：

①增添或减少一些项，如

，；

②放大或缩小分子或者分母，如

≤（）；

③运用相关的基本不等式，如

，；

④的放缩，如

lt;；

⑤的放缩，如

=.

一些分式不等式的证明可以利用不等式的相关性质适当放缩，巧化分母，还可以利用真假分数的性质或者构造我们熟悉的一些函数比如单调函数，奇偶函数等一些函数来实现一些分式的放缩，有些可以通过简化分子或者分母，有些可以可以通过构造化繁为简，有些不等式是可以利用均值不等式来对分母或者分子来进行一些放缩的，把题目中所列出的所有分式不等式全部化成相同分母的分式，有的还可以构造向量，构造数列，构造函数等使得问题变得简单直观，从而降低分式不等式的证明难度。

2.1 适当放缩，简化分式

有些分式不等式可以利用一些已学的均值不等式的变形技巧来适当放缩从 而达到简化分式不等式的目的，简化证明技巧。

例1 已知，求证.(1989年四川省高中数学竞赛题）

证明 因为,由均值不等式可以得到

，

.

所以

即

利用放缩的方法来简化题目的难度，从而能够更加直观的解决相关分式不等式的证明问题，同时对后面知识的学习也有一个很好的指导作用。当然，还有像下面的一些例子也是在解决分式不等式过程中经常遇到的一些问题。

例2 设,且，证明

证明 由均值不等式得

再将上面四式相加可得

，

即可得

.

一般这样的题目是利用已有的知识储备以及相关的函数思想的构造，尽量构造自己熟悉的分式不等式以及相关的变形，这样更有利于在题目中变换技巧，从而顺利的解决分式不等式中的证明问题。

例3 （第三十七届IMO试题）假设均为实数，且都是正实数，且，证明

.

证明 因为都是正实数，,又因为

（1）

所以

，当且仅当时等号成立.

又

（2）

同理可得

（3）

将上面的（1），（2），（3）三个式子相加即可得到题干中所要证明的。

类似上述的题目，一般而言，是先将复杂的分式不等式化成简单易懂的整式不等式，再利用相关性质简化证明过程。

2.2巧化分子或分母

有一些分式不等式，由于本身的一些性质，经常会截取某个数列或者某些数列的前的和，差，乘积等相关的部分来让笔者证明，在近几年的竞赛题中出现的频率较高，而面对这类型的相关题目，一般情况下，如果直接求和，求差或者求积，将会很复杂，或者直接陷入死循环，这时需要对分式本身进行一些变形，简化分子或者分母，对分式进行合理的放缩，降低分式不等式的证明难度.

例4 已知数列满足，，证明

证明 由条件可求得

时，有

从而

所以结论得证.

本道题目，主要是针对分母做变化。通过减少分母来使得整个数列变大，从而降低分数不等式的证明难度。在不等式尤其是分式不等式的证明中，还经常会遇到结构形式很复杂，不能看出方法的不等式，这时可以利用不等式两边分式的关系对其进行变形从而构造函数^[5]，然后利用所构造的函数的相关性质，降低分式不等式证明难度，

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