中值定理中有关中值点的性质

论文总字数：8543字

摘 要

中值点是微分中值定理中的重要概念.对其性质的研究能够促进对微分中值定理的理解与应用.本文首先在教材的基础上给出了微分中值定理的具体内容和应用.然后对其中值点的位置进行了探讨.最后讨论了中值点的渐进性和存在性，同时给出了这些性质的简单证明.

关键词:中值定理；中值点；渐近性；存在性

Abstract: Median point is an important concept in differential mean value theorem. The study of the nature can promote the understanding and application of differential mean value theorem. This paper on the basis of the teaching material of the differential mean value theorem is given and the specific content of the application. Then asymptotic median point position is discussed. Finally the progressive asymptotic properties and the existence of mean value is discussed , at the same time give a simple proof of these properties.

Keywords: mean value theorem, asymptotic median point, progressive, existence

目 录

1引言 4

2 准备知识 5

3 中值定理有关中值点的性质 7

3.1中值点位置的估计 7

3.2中值点的渐进性 10

4 中值点的存在性 13

4.1一个中值点的情形 13

4.1.1原函数法 13

4.1.2泰勒公式法 17

4.2 两个中值点的情形 19

结论 21

参考文献 22

1引言

微分中值定理开始成为微分学非常重要的一部分是从柯西开始的，并且它在柯西的微积分理论体系中发挥着举足轻重的作用，比如说他用中值定理给出了洛必达法则的严格证明，泰勒公式的余项也是通过微分中值定理给出的，它也成为研究函数性态的重要途径.

古希腊时期，数学家们在研究几何时得出拉格朗日定理的特例即:“过抛物线顶点且与抛物线相切的直线与该曲线弓形的底平行.”阿基米德(Archimedes.公元前287-1674年)正是借助这一结论求出了抛物线围成图形的面积.“拉格朗日中值定理”最早出现在《解析函数论》中，它最开始的形式是“若的值最大是A，最小是B且在上连续，则有必为A和B之间的一个值”，因此拉氏定理也成为中值定理中比较重要的定理;相比之下，现代的拉格朗日定理要更完善，它指的是:“在上连续，的可导，则必定存在，使.

中值定理在微积分学中占据着重要的位置，是我们学习大学数学的基础.因此研究中值定理中有关中值点的性质问题具有重要的理论意义，对数学中中值点的研究起关键性作用.就目前的研究情况来看，讨论微分中值定理的相互关系的文章甚少.另外，研究微分中值定理的不同证明方法以及推广也有一定的理论意义.在解决具体实例方面，如解等式、不等式和极限问题，缺少较为系统的总结.

关于微分中值定理的研究，其中渐进性是当前研究的重难点，国内外众多研究者都进行了探讨，也取得了一些成就.比如：徐国栋于1990年研究了二阶拉格朗日中值定理和柯西中值定理“中值点”的渐进性质；随后又在1991年徐国栋研究了高阶微分中值定理“中值点”的渐进性质.在本文中我利用了拉格朗日中值定理和罗比达法则得到高阶拉格朗日中值定理“中值点”的渐进性质，可以简化证明过程，并推导出相应的结论.

2准备知识

对拉格朗日中值定理的证明方法有很多种，除了数学分析教材上的方法之外，还有许多是值得学习和借鉴的.

引理1 拉格朗日中值定理

引理1 设在闭区间连续.在开区间上可导.则至少存在一点，使得.

我们通过构造函数法、区间套定理给出拉格朗日中值定理的三种不同证明方法.应用构造函数法我们给出两种不同的证明，体现了罗尔定理在拉氏定理中的作用.

证法一:构造一般辅助函数，满足在上连续，在上可导，即，也就是.所以满足罗尔定理，则必然有一点，使得,

即

证法二:构造行列式型辅助函数

由于在上连续，在内可导，所以为上的连续函数，且在内可导，且，根据罗尔中值定理，最少存在一点，使得

则有

，

故

证法三：（利用区间套定理）

记，由区间套定理可得存在，使

,

且

,

同理存在，使，

且

，

如果无限的继续下去，便得闭区间列满足：

①

②

③

故存在，且，

进而有

引理2 （柯西中值定理）

若函数和:满足：

在上连续，在上可导，和不同时为,则至少存在一点,使得

函数法和区间套定理证明柯西中值定理，方法类似于拉格朗日中值定理，只是细节上略有不同，这里不再赘述.

引理3[1]（积分中值定理）如果函数在区间上连续，那么在积分区间上至少有一点使下式成立

(1)

^[1]引理3就是著名的积分中值定理，式(1)称为积分中值公式，式(1)中的点称为积分中值定理的中值点.关于中值点究竟在区间上位于何处，一直是人们关心的问题.

3 中值定理有关中值点的性质

3.1中值点位置的估计

根据函数的特性，利用微分中值定理对积分中值定理中“中值点”在区间内的位置进行了讨论，得到了一种非常实用有效的近似估计方法，改善了已有方法估计的精度.

性质1[2] 如果函数在上连续，且，那么积分中值定理公式(1)中的中值点满足

（2）

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