关于最值问题的探讨与研究

论文总字数：7115字

摘 要

：最值问题是一类非常重要的数学问题，生产实际中的许多问题也都可以归结为函数的最值问题去解决．本文将对最值问题的解法进行较为系统地探索与研究，给出求解最值问题的若干方法，包括配方法、判别式法、不等式法、函数单调性法、导数法、换元法、数形结合法等．

关键词：最值问题，判别式法，不等式法，导数法，数形结合法

Abstract: The most value problem is a very important mathematical problem. Many problems in production practice can be attributed to the the most value problem of the function to solve. In this paper, the solution of the most value problem is systematically explored and studied. Some methods for solving the problem of the most value are given, which includes the translating method, the discriminant method, the inequality method, the function monotone method, the derivative method, changing element method and teh combination of number and shape, etc.

Keywords: the most value problem, the discriminant method, the inequality method, the derivative method, teh combination of number and shape

目 录

1 引言 4

2 最值问题的一般解法 4

2.1 配方法 4

2.2 判别式法 5

2.3 不等式法 7

2.4 函数单调性法 9

2.5 导数法 9

2.6 换元法 10

2.7 数形结合法 11

3 三角函数中的最值问题的解法 13

结 论 18

参 考 文 献 19

致 谢 20

1 引言

在生活实际中我们经常会遇到路程最短、用料最省、花费最少、体积最大等问题，而这些问题往往都可以归结为某一函数的最值问题．在中学数学教材中，最值问题也是一个非常重要的内容，在历年高考中也时有体现，而且分值较多，难度较大，考查多以综合性较强的形式呈现．由于最值问题贯涉及的知识面非常广泛，包括三角函数、数列、线性规划、不等式、向量等，甚至有时还会涉及到物理学、工程学、生物、化学等多个领域，因此解题方法也是灵活多样．虽然目前关于最值问题的文献不少，但是对最值问题的解法进行比较系统地探讨与研究仍是必要的．本文将通过实例系统地探讨最值问题的解法，并对最值问题的常见题型进行归纳与探讨．由于三角函数具有一些特殊的性质，故在本文第三部分也将对三角函数的最值问题的解法进行较为系统的探讨与研究．

2 最值问题的一般解法

最值的解法非常多，不同类型的问题可能会有不同的解法，有时一个问题又会有多种解法．在中学数学教材中，最值问题没有独立的章节，也没有对最值问题的类型与解法进行系统地归纳与总结．下面讨论用配方法、判别式法、不等式法、函数单调性法、导数法、换元法、数形结合法等方法解决最值问题的一般方法．

2.1 配方法

配方法可广泛应用于求一元二次函数的最值问题．一元二次函数的标准形式为

．

通过配方即将函数化为顶点式，即

．

这时需根据自变量的取值范围来确定最值．当定义域为全体实数时，函数最值为[1].

例1 求的最值.

分析 这是求一元二次函数最值的最简单形式，只要化为顶点式即可．

解 原函数可化为

.

则当时，函数的最大值为．

当定义域为给定的区间时，这时需要综合考虑函数的定义域与值域，最值不一定在顶点处取得．

例2 设函数， ，求的最值．

分析 本题与例1的唯一区别就是函数的定义域不同，这时需要结合二次函数的图形或函数的单调性来确定函数的值域情况．

解 原函数可化为

，

而此函数在上是单调递增的，在上是单调递减的，而当时，；当时，．综合知，当时，函数最小值为．当时，函数最大值为．

例3 已知 ，求的最值．

分析 形式上不是一元二次函数的形式，但可以通过换元转化为一元二次函数的形式．这时要考虑到“元”的取值范围．

解 由，得

．

由，解得．将代入，得

．

此时在上单调递增．故当时，的最小值为；当时，的最大值为．

2.2 判别式法

判别式法通常用于求分式函数或无理函数的最值，可通过适当的变形将这些函数的最值问题转化为一元二次方程有无实根的问题，再利用判别式，进而求出函数的最值[2]．

例4 求函数的最大值与最小值．

分析 这是求分式函数的最值问题．因为分式函数的分母恒大于0，故可采用判别式法求解．

解 因为的判别式

，

所以对一切实数恒成立.由

，

得

. （1）

当时，；当时，由，知一元二次方程（1）必有实根，因此

．

解得

，

综上，的最大值为，的最小值为．

注意 关于，的二元二次方程，转化为形如的形式，且，后利用判别式法来求解．同时也要检验时的值所对应的的值是不是定义域内的值．

例5 求函数的最值．

解 由，得

，

两边平方，得

，

整理，得

．

因为是实数，所以

，

解得

．

又因为，解得．故

．

综上，有

，

且当时，；当时，．故的最小值为，的最大值为．

注意 当自变量的取值范围不是全体实数时，在求出函数的范围后，需要把区间端点值代入原函数进行验证，以避免出现“增值”等错误．

2.3 不等式法

下面的不等式在求函数最值问题的过程中是经常用到的．

(1)（，）．

(2)（，同号）．

(3)（，）．

(4)（，）．

当,,若（定值），当且仅当时，积有最大值是；当,，若（定值），当且仅当时，和有最小值是．

利用基本不等式求函数最值时，关键在于将函数变形为两项和或积的形式．条件最值的求解通常有两种方法：一是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子；二是利用消元法，根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为求函数的最值问题^[3]．

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