论文总字数：5404字

摘 要

：极限理论是微积分学的基础，而极限的计算问题又是极限问题中最基本的问题．本文对求极限的方法进行了较为系统的归纳与探讨,给出了求极限的若干方法,主要包括:利用极限定义、函数的连续性、四则运算法则、分子（分母）有理化、两边夹法则、两类重要极限、等价无穷小替换、对数法、洛必达法则、泰勒公式、积分定义、o.stolz公式、单调有界原理及压缩映像原理等求极限的方法，并且通过实例解析了运用这些方法计算极限的规律与技巧．

关键词：极限，计算，方法

Abstract: Limit theory is the foundation of calculus, and the calculation problem of limit is the most basic problem of the limit. In this paper, limit calculation methods are systematically summarized and discussed and several methods are given, which mainly include: using the definition of limit, the continuity of function, four algorithms, numerator(denominator) rationalized, both sides of the clip rule, two kinds of important limit, equivalent infinitesimal replacement, logarithm, L"Hospital rule, Taylor"s formula, integral definition, o.stolz formula, monotone bounded principle and the principle of compressed image and so on. We also analyzes the rules and strategies of calculating the limit by using these methods through real examples.

Keywords: limit, calculation, method

目录

1 引言 4

2 计算极限的若干方法 4

2.1 利用极限定义求极限 4

2.2 利用函数的连续性求极限 5

2.3 利用四则运算法则求极限 5

2.4 利用分子（分母）有理化求极限 6

2.5 利用两边夹法则求极限 6

2.6 利用两类重要极限求极限 8

2.7 利用等价无穷小替换求极限 9

2.8 利用对数法求极限 10

2.9 利用洛必达法则求极限 11

2.10 利用泰勒公式求极限 12

2.11 利用积分定义求极限 13

2.12 利用o.stolz公式求极限 14

2.13 利用单调有界原理求极限 15

2.14 利用压缩映像原理求极限 16

结论 17

参考文献 18

致谢 19

1 引言

极限理论是微积分学的基础，而极限的计算问题又是极限理论中最基本的一个问题．计算极限的方法较多，目前关于极限计算方面的文献也不少．本文将在此基础上对计算极限的方法进行比较系统的归纳与探讨，给出计算极限的如下方法：利用极限定义、函数的连续性、四则运算法则、分子（分母）有理化、两边夹法则、两类重要极限、等价无穷小替换、对数法、洛必达法则、泰勒公式、积分定义、o．stolz公式、单调有界原理及压缩映像原理求极限，且通过对典型例题的解析，探讨了运用这些方法计算极限的规律与技巧．

2 计算极限的若干方法

2.1利用极限定义求极限

自变量的变化过程有趋于,趋于,趋于,趋于,趋于，趋于六种情形，本文仅以趋于情形为例，其余情形类似可得．

定义1^[1] 设函数在点的某个空心邻域内有定义，为定数．若对任给的gt;0，存在正数（lt;），使得当0lt;时，有

，

则称函数当趋于时以为极限，记作

或

．

例1 设，证明．

证 由于当时，

，

故对任意给定的，取，则当时，有

，

故

．

注 只有当函数的极限值已知的情况下，可以运用此种方法验证．但当极限值未知时，就无法运用此法求出函数极限．

2.2 利用函数的连续性求极限

由于任何初等函数都是在其定义区域上的连续函数，所以当为初等函数时，若是的定义区域内的点，则根据的连续性，有．

例2 求极限．

分析 由于是初等函数的定义域的内点，故由的连续性，

得

．

2.3 利用四则运算法则求极限

定理1^[1]（四则运算法则）若极限与都存在，则函数，当时极限也存在，且

1) ；

2) ；

又若，则当时极限存在，且有

3) ．

例3 求．

解 原式可化为

．

注^[2] 四则运算法则成立的前提条件是和都存在，只有当各个极限都存在时，才能运用四则运算法则．

2.4 利用分子（分母）有理化求极限

分子（分母）有理化主要针对分式中分子或分母出现无理根式的情形，这时我们直接求极限可能不好求，故先将分子或分母有理化，这种情况下，所求极限函数就得到一定程度的化简，我们便能很容易求得极限值．

例4 求．

分析 为的间断点，我们不能直接利用函数的连续性去求． 将分子有理化，得

=

=

=

再利用函数的连续性求得原函数的极限为

2.5 利用两边夹法则求极限

能够使用两边夹法则求极限，主要是由于函数极限具有迫敛性．为了方便起见，我们首先给出函数极限的两边夹法则．

定理2^[3]（两边夹法则） 设，且在某内有

，

则．

例5 求极限．

解 由于，故

，

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