正项级数叛敛的一般程序和方法选择

论文总字数：6225字

摘 要

：正项级数是每一项都非负的级数,判断其敛散性有很多方法，既可以用级数敛散性的定义和柯西收敛准则判断，也可以用其自身的特殊判别法.然而如果方法选择不当，就会事倍功半甚至于无功而返.为此，本文将系统总结和探讨针对各种不同类型的正项级数的特点进行判敛的一般步骤和方法选择.

关 键 词 ：

Abstract：Positive series is every a nonnegative series, there are many ways in judging its divergence, either with the definition and cauchy convergence criterion in series divergence judgement, can also use their own special criterion. However, if improper selection method will be wasted effort, and even decreased. Therefore, in this paper, the system summary and discussion on the characteristics of various types of positive series to the folding of the general steps and methods of the choice.

Key words：positive series;criterion; divergence

目 录

1 引言………………………………………………………………………3 2 判别正项级数的有关方法………………………………………………3

2.1 判别级数敛散性的通用方法……………………………………………3

2.2 判别正项级数敛散性的特有方法………………………………………4

3 判别正项级数敛散性的一般程序和方法选择………………………6

结论…………………………………………………………………………………14

参考文献…………………………………………………………………………15

1 引言

级数是数学分析中的重要内容，在生活中应用的也较为广泛，而正项级数是级数的重要组成部分，正项级数判敛的一般程序和方法选择在解决问题中发挥了重要作用.在解决问题时，我们如果只用定义来判断正项级数是否收敛是比较困难的，因此我们要找出判别正项级数敛散性的方法来提高我们解决问题的能力.我们虽然学习了正项级数的判敛，但是没有做过多的分析,没有深入的去研究判敛方法的区别及如何选择合适的方法来解决问题.所以当我们遇到问题时，不知该选用什么方法来解决，甚至有些方法无法解决问题时就感到手足无措，那么在我们做题时该如何选择方法呢?正项级数是每一项都非负的级数,判断其敛散性有很多方法，既可以用级数敛散性的定义和柯西收敛准则判断，也可以用其自身的特殊判别法，但使用起来仍有一定的技巧，根据题目特点进行分析、选择适宜的方法，提高我们解题的效率.然而如果方法选择不当，就会事倍功半甚至于无功而返.为此,本文将系统总结和探讨针对各种不同类型的正项级数的特点进行判敛的一般步骤和方法选择.下面我们总结一下正项级数的相关概念和性质，正项级数的定义如果级数的各项都是非负实数，即则称此级数为正项级数，正项级数收敛的充要条件是：部分和数列有上界，即存在某正数，对一切正整数有

2 判别正项级数敛散性的有关方法

2.1 判别级数敛散性的通用方法

2.1.1 定义法

定义 若数项级数的部分和数列收敛于,则称数项 级数收敛.若是发散数列，则称数项级数分散.

定义法适用于判别各种级数的敛散性.

2.1.2 柯西收敛准则定理

定理(柯西收敛准则) 级数收敛有.

取特殊的,可得下面的推论:

推论 若级数收敛,则.

推论的逆否命题为若,则级数发散.

柯西收敛准则主要用于数学理论分析中，在具体的解题实践中较难使用.

2.2 判别正项级数敛散性的特有方法

2.2.1 比较判别法

定理 正项级数与,且,有,c是正常数.

1）若级数收敛,则级数也收敛;

2）若级数发散,则级数也发散.

极限形式 设两个正项级数与,且

1）若级数收敛,且,则级数也收敛;

2)若级数发散,且,则级数也发散.

该方法适用范围广泛,但是技巧性相对较高，拿到题目时首先要有个预先估计，然后找到一个已知其敛散性的合适级数和它相比较.但对大多数问题而言，这个方法是比较有难度的.

2.2.2 达朗贝尔判别法(比值判别法)

定理 对于一个正项级数,存在常数.

1）若,有 ,则级数收敛;

2）若,有 ,则级数发散.

极限形式 设有正项级数,且

1）当时,级数收敛;

2）当时,级数发散.

比值判别法是判别正项级数敛散性的常用方法.通过正项级数的后项与前项的比值来判别其敛散性.比值判别法适合与有公因式且存在或等于无穷大.该方法主要适用于连乘（阶乘）、指数函数.

2.2.3 柯西判别法（根值判别法）

定理 对于一个正项级数,存在常数.

1）若,有 ,则收敛;

2）若存在无限个n,有 ,则发散.

极限形式 设有正项级数,若 ,则

1）当时,级数收敛;

2) 当时,级数发散.

根值判别法适合中含有表达式的次幂且或等于无穷大的情形.该方法主要适用于指数函数、幂指函数.

2.2.4积分判别法

定理 设为上非负减函数,那正项级数与它的反常积分同时收敛或者两者同时发散.

剩余内容已隐藏，请支付后下载全文，论文总字数：6225字