数值积分法及其加速

论文总字数：7113字

摘 要

在计算定积分时，通常要借助原函数，但大多数原函数无法求出，所以我们有必要采用数值积分方法.一般的数值积分方法误差阶较低，为获取较好的数值解,就需要很大的计算量，所以本文介绍几种经典的数值积分方法及其加速技巧，最后通过数值实验表明加速方法的有效性.

关键词:数值积分，加速技巧

Abstract: As calculating a given definite integration ,we usually make use of Newton - Leibnitz formula, but most of the original function can not be obtained,therefore,it is necessary to use the quadrature.The order of the error in the quadrature is low,which is expensive for obtaining a accurate numerical solution.In this paper,we mainly introduce several classical quadrature methods and the technique of the acceleration,some numerical experiments are conducted to show the efficiency of the present methods.

Keywords: quadrature, accelerating techniques

目录

1引言…………………………………………………………………………4

2数值积分的基本思想………………………………………………………4

3数值积分法及其加速………………………………………………………4

3.1Newton-Cotes公式 ……………………………………………………4

3.2复化求积公式 …………………………………………………………6

3.3Romberg求积公式………………………………………………………7

3.3.1Romberg公式 ………………………………………………………7

3.3.2Richardson外推加速方法 ………………………………………9

3.4高斯求积公式 ………………………………………………………9

4数值比较……………………………………………………………………10

结论 …………………………………………………………………………12

参考文献 ……………………………………………………………………13

致谢 …………………………………………………………………………14

1 引言

定积分的计算由来已久，本科教学中通常介绍的方法是运用牛顿-莱布尼兹公式求解.但是该方法的缺点也显而易见，即被积函数的原函数在绝大多数情况下是无法求出的，即使能够得到原函数，其过程和形式也非常复杂. 另外，当f(x)是由测量得到的一张数据表时，更无法运用牛顿-莱布尼兹公式，这种情况下，人们往往只需要知道积分的近似值即可，因此有必要研究数值积分方法. 虽然现在已经有了很多数值积分方法，但是其中绝大多数误差阶较低，即使有些方法的收敛阶较高，但其求积节点较多导致不便应用. 因此，有必要研究如何低阶积分方法的加速，从而得到简单易用的数值积分法.

2 数值积分的基本思想

根据积分中值定理,在积分区间内存在一点，成立

由于点的具体位置不知，所以无法算出f()的值，我们将f()称为区间上的平均高度，对f()提供不同算法，得到不同的数值积分方法，如梯形公式等。更一般地，在区间上适当选取某些节点，然后用f()加权平均得到平均高度f()的近似值，构造出机械求积公式

将积分求值问题转化为被积函数值的计算.

3 数值积分法及其加速

3.1 Newton-Cotes公式

将积分区间n等分，步长，选取等距节点，构造Newton-Cotes公式

其中为柯特斯系数，引进变换，则有

当n=1时，这时的求积公式就是梯形公式，其形式是

当n=2时，为Simpson公式，其形式是

比较梯形公式和Simpson公式，梯形公式虽然节点只有两个，但其代数精度也为1，求积效果不理想，而Simpson公式，节点有三个，其代数精度也为3，显然 Simpson公式比梯形公式有优势，我们继续提高阶:

当n=4时，为Cotes公式，其形式是

有5个节点,代数精度也为5，和Simpson公式比较，节点增加两个，而代数精度也只增加两个，我们不断的提高阶，所得结果如表1，我们发现时的Newton-Cotes公式不具有稳定性，故不能用此方法来提高精度.

表1：柯特斯系数

为比较梯形求积公式，Simpson求积公式和Cotes求积公式，计算定积分

1. 梯形求积公式

1. Simpson求积公式

（3）Cotes求积公式

而积分的准确值为

将梯形求积公式,Simpson求积公式，Cotes求积公式计算所得结果与准确值比较，所得误差分别为:0.00418770，0.00002931，0.00000033.则求同一个积分问题，Simpson公式的误差比梯形公式的误差小，而Cotes公式的误差又比Simpson公式的误差小.

3.2 复化求积公式

由于高阶Newton-Cotes公式是不稳定的，因此，不可以用提高阶的方法来提高求积精度，这时若想提高精度通常要把积分区间分成若干子区间（通常等分），然后在每个小区间上采用数值稳定的低阶Newton-Cotes求积公式，最后把每个小区间上的结果加起来作为原定积分的近似值，这种方法构造的求积公式就叫复化求积公式. 常用的复化求积公式有:

1. 复化梯形公式:

1. 复化辛普森公式

为比较复化梯形公式和复化辛普森公式，给出函数

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