矩阵可对角化的探讨

论文总字数：5180字

摘 要

关键词： 矩阵, 对角化, 特征值, 特征向量

Abstract：Matrix diagonalization problem is an important problem in matrix theory. In this paper, based on diagonalization matrix properties and application research, and highlight the status of diagonalization matrix in algebra.

Key words：matrix, diagonalization, eigenvalue, eigenvector

目 录

1 引言

1.1 矩阵产生的背景及地位……………………………………3

1.2 矩阵对角化的意义…………………………………………4

2 矩阵对角化的充要条件证明和方法

2.1 矩阵对角化的几个充分必要条件…………………………4

2.2 矩阵对角化的方法…………………………………………5

3 矩阵对角化的应用……………………………………………10

4 参考文献………………………………………………………13

1 引言

1.1 矩阵产生的背景及地位

自19世纪凯利引入矩阵概念以来,矩阵理论已逐渐成为数学发展中的一个重要分支,它既是学习经典数学的基础,也是一门最有实用价值的数学理论,并且已成为现代科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系的强有力工具. 《线性代数》作为高等院校理工科学生必修的一门科目,基本内容包括: 行列式、矩阵、线性方程组、二次型、线性空间、线性变换、欧式空间等理论,而矩阵在线性代数中处于核心地位.

这就涉及到我们研究矩阵的意义,那么矩阵在我们的所学习的线性代数中究竟扮演着什么样的角色呢？

1、矩阵为行列式的计算提供了新的技巧.所有的《线性代数》教材都把行列式作为第一部分, 由于暂时没有学习矩阵知识, 所以计算行列式的方法仅限于定义法、化三角形法、降阶法、递推法和加边法等,但是在具备了矩阵知识之后, 矩阵为行列式的计算提供一些新的技巧.

2、矩阵是求线性方程组的解和判别解的情况的最佳工具.首先, 线性方程组可以用矩阵表示为.其次, 解线性方程组的基本方法是消元法, 消元法的本质就是对线性方程组的增广矩阵进行初等变换. 最后, 用矩阵的秩刻画线性方程组解的情况.

3、对称矩阵是二次型的简化形式.由于二次型与对称矩阵之间是一一对应关系, 二次型的化简实质上也是对称矩阵的合同变换, 而且二次型有什么概念和结论( 例如正定、惯性指标等), 对称矩阵也有相应的概念和结论, 所以研究二次型本质上就是研究对称矩阵, 也就是说, 二次型可以简化对称矩阵.

4、矩阵组成线性空间的一个特例, 也成为线性空间的研究工具.一方面,数域上的全体矩阵组成一个线性空间,为线性空间提供了一个重要实例.另一方面, 矩阵能准确地表达有限维线性空间的两组基之间的关系和同一向量关于不同基的坐标, 利用矩阵的可逆性还可以判断向量的线性相关性和向量组的等价性, 所以, 矩阵是研究线性空间的重要工具.

5、矩阵是线性变换的化身.由于在取定了维线性空间的基之后,的线性变换与阶矩阵之间是一一对应关系, 且线性变换的运算与矩阵的运算也保持一致, 也就是说, 线性变换与矩阵是两个同构的代数系统, 所以在代数意义下, 矩阵与线性变换没有本质区别.因此, 我们可以形象地说, 矩阵就是线性变换的化身.

1.2 矩阵对角化的意义

从矩阵对角化的理论上看,矩阵对角化相当于对矩阵在相似意义下给出的简单的等价形式,这对理论的分析在某种程度上简便了很多.相似的矩阵拥有很多相同的性质,比如特征多项式、特征根、行列式……如果单纯只是关心这类性质,那么相似的矩阵可以看作没多大区别,这时研究一个一般的可对角化的矩阵,只要研究它的标准形式.而对角矩阵是最简单的一类矩阵 ,利用对角矩阵来研究一类矩阵,研究起来非常方便.这个过程相当于在一个等价类中选取最顺眼的元素研究.

另外,对角化突出了矩阵的特征值,而过渡矩阵反映了特征向量的信息,对角化过程的直观意义非常明显,再结合正交矩阵的概念,可以得到一些不平凡的结论.例如,实对称矩阵总可以对角化.

从实践中,对于矩阵对角化的研究的意义就显得特别明显,例如计算一个一般三阶实对称矩阵的次幂,当较大时,按矩阵乘法定义去计算是相当繁琐的,计算复杂度呈指数增长.但是,如果将对角化,那么计算的过程就会简单很多,这也是我们要研究矩阵对角化的一个特别明显的原因,具体例子会在本文第三章具体介绍.

2 矩阵对角化的充要条件证明和方法

2.1 矩阵对角化的几个充分必要条件

定义1 设是数域上的一个n阶方阵,如果存在数域上的一个可逆矩阵,使得为对角形矩阵,那么就说矩阵可以对角化.

定义2 设是阶方阵,若存在维非零向量,使

,

则称数为的特征值或本征值,并称此非零向量为属于的特征向量或本征向量.

下面给出矩阵对角化的若干个充分必要条件

定理1 矩阵可对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量.

定理2 矩阵可对角化的充分必要条件是有个互异的特征值.

定理3 矩阵可对角化的充分必要条件是的特征子空间的维数之和为.

定理4 矩阵可对角化的充分必要条件是的重特征值对应的线性无关向量个数等于该特征值的重数.

定理5 在复数域上,矩阵可对角化的充分必要条件是的初等因子是一次多项式.

由于每个初等因子都对应了一个若当块,例：一个初等因子为的矩阵,它所对应的若当块为

,

而若当形矩阵是由这样的若当块组成的.

例如

所以如果每一个若当块都是1阶,那么,这个若当形矩阵就成了对角阵,那么与之对应的初等因子都是一次的.

定理6 在复数域上,矩阵可对角化的充分必要条件是的不变因子无重根.

定理7 在复数域上,矩阵可对角化的充分必要条件是的最小多项式无重根.

例1 判断矩阵

是否可对角化？

解 矩阵的特征多项式为

,

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