闭区间套定理的推广和应用

论文总字数：5683字

摘 要

闭区间套定理是数学实数分析中的一个重要定理。由于它具有较好的构造性，因此闭区间套定理在实数相关的命题中具有广泛的应用，所以闭区间套定理不仅有重要的理论价值，而且具有很好的应用价值。为了增大闭区间套定理的应用范围，从闭区间套定理的概念出发推广该定理。本课题借用闭区间套定理的条件，进一步讨论给出了区间分为半开半闭，开区间时的结论，并将结论推广到一般度量空间，有一定的理论意义。本课题适合作为数学专业本科生毕业论文选题。

关键词：区间套，定理，推广，半开半闭，开区间，应用

Abstract：Closed interval theorem is an important theorem in mathematical analysis of real numbers. Because it has the good structure, so a closed nested interval theorem in real related propositions with a wide range of applications, so closed nested interval theorem is not only an important theoretical value, but also has good application value. In order to enlarge the application range of the closed interval theorem, this theorem is generalized from the concept of closed interval sets. In this paper, we use the condition of the closed interval set theorem, and further discuss the conclusion that the interval is divided into half open and half closed, and the conclusion is extended to the general metric space. This topic is suitable for the graduation thesis of mathematics majors.

Keywords：interval sets,theorem,extension,half open and half closed,open interval,application

目 录

1 前言和预备知识 ………………………………………………………………4

2 闭区间套定理的推广 …………………………………………………………4

3 闭区间套定理及其推广的应用 ………………………………………………8

结论………………………………………………………………………………11

参考文献…………………………………………………………………………12

致谢………………………………………………………………………………13

1 前言和预备知识

闭区间套定理是实数分析中的一个重要定理.由于它具有较好的构造性，因此闭区间套定理在实数相关的命题中有广泛的应用，故闭区间套定理不仅有重要的理论价值，而且具有很好的应用价值.为了增大闭区间套定理的应用范围，从闭区间套定理的概念出发推广该定理.一开始，在一维空间里对闭区间套定理进行推广，从而形成严格开区间套定理和严格半开半闭区间套定理，使得闭区间套定理的应用范围增大.然后结合一般完备度量空间的特性，即正定性、对称性、三角不等式性和完备性，再将闭区间套定理在一般完备度量空间上推广，形成一般完备度量空间上的闭集套定理，从而把一维空间上的情景推广到了更一般化的完备度量空间，使得区间套定理的应用范围更为广泛，并且给出了常用度量空间上的闭集套定理.最后结合一些实例分析说明闭区间套定理的应用.

定义1^[1] 设闭区间列具有如下性质：

（1）

(2)

则称为中的一个闭区间套，或简称区间套.

这里性质（1）表明，构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个，即各闭区间的端点满足如下不等式：

.

2 闭区间套定理的推广

定理1^[2](闭区间套定理) 若是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点，使得即

.

证 由条件知：，即是单调增加有上界的数列，是单调减少有下界的数列.根据单调有界定理数列收敛，数列收敛.

设，由定理（1）知：，即

.

对任意取定的，又因为单调增加，单调减少，于是

,

即 ，即属于所有的闭区间.

下证 是唯一的，运用反证法.假设还有也属于所有的闭区间，从而对任意的，有，有.

根据极限的不等式性质有，与条件矛盾，所以是唯一的.

由上述容易推得如下很有用的区间套性质：

推论1^[3] 若是区间套所确定的点，则对任给的，存在，使得当时有

.

注1 区间套定理中要求各个区间都是闭区间，才能保证定理结论成立.

下面给出区间套定理的若干推广.

定理2^[4]（闭域套定理） 设是中的闭域列，它满足：

（1）

（2）

则存在唯一的点.

注2 这里的是指平面点集的直径.

定理3（开区间套定理） 若开区间列，满足

（1）;

（2）,

则存在，使得.

证 根据条件（1）和（2），由闭区间套定理显然有结论，

且

.

显然与闭区间套定理比较，由于开区间列的构成结构，开区间套定理只能保证点的存在性，不能保证.

例如开区间列和均满足开区间套定理的条件，但，.

特别的，对于开区间列或，结论为或.

要保证的存在区间，只需要开区间套定理的条件（1）加强既可以得到：

推论2 若开区间列满足：

（1）;

（2）,

则存在，使得

（1）;

（2）.

证 考虑闭区间列，由条件（1），（2），可知满足闭区间套定理的条件，故存在，使得，且，又由条件（1），所以.

定理4（半开半闭区间套定理） 若半开半闭区间列满足：

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