一类具有Allee效应的捕食系统稳定性分析

论文总字数：4510字

摘 要

随着人类社会活动强度的日益增加，在工业化、全球化、一体化的同时，生态坏境也在不经意间遭到破坏，对生物的生存产生不利影响.对小种群而言，更容易受到Allee 效应的影响. 有关捕食者-食饵系统和Allee 作用的研究, 对于生态系统的持久性是非常重要.本文将建立具有Allee 效应的捕食系统模型，通过求解它的平衡点，利用常微分方程的定性和稳定性理论对模型的平衡点进行稳定性分析，从而得到它对于生态系统的生态学的意义.

关键词：Allee效应 , 捕食系统 ，平衡点 ，稳定性

Abstract：With the intensity of human social activities increasing, in industrialization, globalization, integration at the same time, bad ecological environment also inadvertently destroyed, the biological survival produced adverse effects. For small populations, the easier by the influence of Allee effects. Research on predator-prey system and an Allee effect, and for the persistence of the ecological system is very important. This article will establish prey predator system model with Allee effect, by solving the equilibrium point, the use of often qualitative and the stability theory of differential equations to model the equilibrium point of the stability analysis, in order to get it to the ecosystem Ecological significance.

key word：allee effect , prey-predator system , equilibrium , stability

目录

1 引言……………………………………………………………………………………………4

2 预备知识 …………………………………………………………………………………5

3 主要结果 …………………………………………………………………………………6

2.1平衡点的存在性 ………………………………………………………………………6

2.2平衡点稳定性分析 …………………………………………………………………7 结论 ………………………………………………………………………………………11

参考文献 …………………………………………………………………………………12

1 引言

生态学是研究生物体与它们周围环境之间关系的一门科学，它主要研究生物的生存条件，生物种群与环境之间相互作用的过程及规律.种群生态学是生态学中一个重要分支，在现实生活中发挥着越来越重要的作用.种群生态学是用数学模型描述种群间相互关系，然后通过对数学模型的分析、研究，以达到对人们所关心的生态问题的解释、预测和控制的目标.稳定性是生态学中的一个重要的研究课题，在稳定的生态系统中，种群间不仅彼此相互作用并且可以共同生存，稳定性是生态系统中最重要的基本特征之一.

在自然界中，捕食现象是普遍存在的，所以对捕食模型的研究显得尤为重要，通过对捕食种群模型的稳定性研究，来解释和预测种群的发展趋势，这对于保护生物种群的多样性，维持生态系统的可持续发展有着重要的指导意义.

Allee 指出: 群聚有利于种群的增长和存活, 但过分稀疏和过分拥挤都可阻止生长, 并对生殖发生负作用, 每种生物都有自己的最适密度. 这就是所 谓的阿利效应. 对于一个具有阿利效应的种群来说, 当种群密度低于某一阈值时, 物种将会灭绝.这是因为种群密度过于稀疏时, 种群个体将因难以找到配偶或因近亲繁殖等因素导致出生率减小, 死亡率增加. 因此许多种群, 尤其那些濒危的密度稀疏种群, 更容易受到阿利效应的影响.

Allee效应(Allee effect)是当前生态学、保护生物学和入侵生物学的研究热点之一.近几十年来,人们开展了大量的理论和实验研究探索Allee效应对种群动态、种群间相互作用、生物保护、物种扩张和外来物种入侵等生态学过程的影响.所以,研究Allee效应对不同尺度上捕食者-猎物相互关系的影响就具有重要的意义.因此，一类具有Allee效应的捕食系统稳定性分析是生态学与数学生态学的一个重要研究课题.

本文考虑下述具有Allee效应的捕食者-食饵系统：

其中，分别表示食饵和捕食者在时刻的密度。是食饵的内禀增长率，是最大坏境容纳量，表示Allee效应常量，表示捕食者单位时间捕食的最大量，表示自饱和的食饵数量，表示捕食者单位死亡率，表示食物的利用率.

2 预备知识

定义2.1 对于二维自治系统

若点使，则称为系统的平衡

点，或者称为奇点.

定义2.2 对常系数齐次线性系统

它的向量形式是

其中，

如果用分别表示矩阵的迹和行列式，并且设, 则对于系统的平衡点,

（1）当时，称 为初等奇点；

（2）当时，称为高次奇点.

初等奇点分类如下：

1. 当时,平衡点为鞍点;
2. 当,时，平衡点为稳定(不稳定)结点;
3. 当时，平衡点为稳定（不稳定）焦点;
4. 当时，平衡点为中心.

引理2.1 常系数线性微分方程组

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