一类带有边值条件的分数阶微分包含解的存在性

论文总字数：7444字

摘 要

分数阶微分方程理论是对整数阶微分方程的推广，在一些实际问题的理论分析和研究中，显示了其独特的优势和不可替代性，应用非常广泛，如新材料科学、流体力学、电子电路等。近年来，有关带有边值条件的分数阶微分包含的研究受到了广泛关注。本文先介绍了分数阶微分理论的研究背景和研究现状，进而主要研究了带有边值条件的分数阶微分包含解的存在性，讨论了如下带有边值条件的分数阶微分包含问题

利用多值映射的不动点定理，得到了带有边值条件的分数阶微分包含解存在的充分条件，研究的非线性项分为凸和非凸两种情形。

关键词：分数阶微分包含，解的存在性，边值问题

Abstract：Fractional differential equation theory analysis is for the generalization of integer order differential equation. In theoretical analysis and research of some practical problems, it shows its unique advantages and irreplaceability and it is widely applied in different fields, such as new material science, fluid mechanices, viscoelasticity mechanics, electronic circuit and so on. In recent years, the studies on fractional differential equations and differential inclusions with boundary value problem have received the widespread attention. This paper firstly introduces the research background and current situation of the fractional differential equations, then the existence of solution of fractional differential inclusions with boundary value condition is studied. We investigate the following fractional order differential inclusions with boundary value problems

By using the fixed-point theorem of multi-valued maps, the sufficient conditions for the existence of solutions to the fractional order differential inclusions with boundary value conditions are established. The study includes two types of the nonlinear terms, convex and non convex.

Keywords：existence of solutions, fractional differential inclusions, boundary value problems

目 录

1．引言 …………………………………………………………………………3

1.1 研究背景……………………………………………………………………3

1.2 预备知识……………………………………………………………………4

2.主要结果………………………………………………………………………5

定理1（非线性项为凸值）…………………………………………………6

定理2（非线性项为凸值）…………………………………………………8

定理3（非线性项为非凸值）………………………………………………8

结论………………………………………………………………………………11

参考文献…………………………………………………………………………12

1. 引言

1．1 研究背景

分数阶微分方程是伴随着分数阶微积分学一起发展起来的学科，是一个古老而新鲜的概念。早在1695年，整数阶微积分还处于发展时期，就开始了对分数阶微积分和分数阶微分方程的讨论和猜想，其理论发展至今已经有300多年的历史 。随着科技不断发展，各个科学领域中出现的问题越来越多地涉及分数阶微分方程，再加上广义算子理论的兴起，分数阶微分方程有了快速的进展．第一次分数阶微分方程国际会议在1974年美国New Haven大学召开，美国很多不同领域的数学家出席了此次会议，为分数阶微分方程推广做了重大贡献，分数阶微积分理论受到越来越多的国内外学者的广泛关注，特别是从实际问题抽象出来的分数阶微分方程成为很多数学工作者的研究热点 。

分数阶微分方程之所以能有今天这样蓬勃的发展，主要还是要归功与它的不断扩展的广阔应用的实际背景。例如,热力学、流体力学、黏弹性力学、化工工程、等离子物理、计算数学及经济数学中的许多问题都可转化为微分方程问题。在刻画自然现象、描述生产和生活中的动态过程方面,分数阶微分方程比整数阶微分方程更加精确和细致, 人们为了更准确的描述、模拟实际现象引进了分数阶微分方程系统。因此，对分数阶微分系统的研究有着重要的理论价值和实际意义。近年来,分数阶微分方程解的存在性理论已经成为微分方程理论的一个热点问题,许多学者对其做了深入的研究，相关结果也越来越丰富,研究的主要方法是通过把分数阶微分方程的边值问题转化成与其等价的积分方程问题,利用非线性分析的方法,得到了一些分数阶微分方程边值问题解的存在性的结果。 在过去的几十年中，很多作者指出分数阶微积分理论能有效的解决其他学科中的诸如热传导、渗流、电子线路、物理、化学、控制方程、电磁、医学等的许多现象。一些基础的理论物理问题也开始偏爱分数阶微积分理论。而且分数阶微分理论为分数阶微分方程的出现提供了必要的理论和应用基础。在这个古老而又年青的领域黾，许许多多前辈们的杰出工作为我们奠定了良好的基础。

从[6-7]中了解到，微分包含理论大约产生于二十世纪五、六十年代,微分包含作为常微分方程概念的自然推广，其一般形式为,其中是未知函数，r是一个集值函数．对微分包含的最早的研究，始于20世纪30年代中期在有限维空间中，研究了带凸值右端项的微分包含的解的存在性和解集的性质．在描述物理、力学、工程、微观经济学等方面的系统模型时一般都是使用确定的模型即微分方程。但在现实生活及科学实践中，通常确定的模型已经不适合描述某些动态系统，有足够的正则性质，就可以把微分包含的解与微分方程的解紧密的联系起来.微分包含正是基于对系统过程有一定的了解但不完全确定而建立起来的动力系统，用于揭示不确定动力系统以及不连续动力系统的规律.

微分包含的初值问题是微分包含理论最早的研究对象之一。文献[8-9]中可知，二十世纪六、七十年代，苏联和东欧的一些学者相继投入微分包含的研究，取得了一大批优秀成果。在研究微分包含解的存在性问题时，把微分包含分成带有凸右端和非凸右端两大类，当微分包含有上半连续凸值右端时，则解的存在性可以归结为寻找集值映射的不动点问题，对于具有非凸右端微分包含的Cauchy问题，Filippov解决了当关于两个变量连续时解的存在性，证明了下半连续非凸微分包含的解的存在性。

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