一类不等式的概率证法

论文总字数：4652字

摘 要

关键词：不等式，随机变量，概率证法，凸函数，数学期望

Abstract: Probability method is mainly through constructing an appropriate random variables, combined with some properties of the mathematical expectation, and according to the functions and features of convenient and simple to prove some other methods are difficult to prove inequalities in mathematics. This article will focus on the use in probability theory knowledge to solve some inequalities.

Key words: inequality, random variables, probability method, convex function, mathematical expectation

目录

1 前言 ……………………………………………………………… 3

2 相关知识…………………………………………………………… 3

2.1 概率的定义及其相关性质……………………………………… 3

2.2 上凸函数与下凸函数…………………………………………… 4

2.3 数学期望的定义及其相关性质………………………………… 4

3 不等式的概率证法举例…………………………………………… 6

3.1 代数中不等式的概率证法举例………………………………… 6

3.2 数学分析中不等式的概率证法举例…………………………… 9

结论……………………………………………………………………13

参考文献………………………………………………………………14

致谢……………………………………………………………………15

1 引言

在高等数学中，不等式十分常见其证明方法也多种多样.一般的代数证明方法有，最简单常用的作差或者作商、将不等式化简构造函数，在对其求导分析根据单调性加以证明、了解算术平均数和几何平均数的概念加以利用或者数形结合；也可以通过利用数学分析中的一些常用证明方法，比如，微积分方法、证明级数收敛时常用的放缩法、反证法或者根据不等式的特点巧妙地结合中值定理的相关知识来证明.

不等式的证明一直是高等数学证明中重中之重，但是有些不等式利用一般的证明方法证明起来不仅十分复杂让人较难理解接受而且还需要多种方法综合利用才能解决.此时，对于某一类不等式如果能巧妙地利用概率论方法去证明,不但可以简化证明,而且也可以让人更容易理解接受.概率论是研究随机现象规律的一个数学分支，利用概率论的知识去证明不等式构造出合理的随机模型十分重要.本文将通过建立合理的随机模型,证明高等数学中一些常见的不等式.

2 相关知识

本文在证明不等式过程中所需要用到的一些相关概念、定理和性质如下.

2.1 概率的定义及其相关性质

定义 设为一个样本空间，对中的任一随机事件，定义一个实数值满足：

⑴ 非负性：；

⑵ 正则性：；

⑶ 可列可加性：若两两互不相容，有

则称为事件的概率.

性质(逆事件的概率) 对于任一事件有

性质（加法公式） 对于任意两事件有

上式可以推广至多个事件的情况，例如设为任意三个事件，则有

一般对于任意个事件可以用归纳法证得

2.2 上凸函数与下凸函数

定义 设为定义在上的函数，若对上的任意两点和任意实数总有

则称为上的凸函数（下凸函数）.反之.如果总有

则称为上的凹函数（上凸函数）.

定理 若在某区间内二阶导数gt;0，则函数在此区间内是下凸的；若，则函数在此区间内是上凸的.

2.3 数学期望及其相关性质

定义 设离散型随机变量的分布律为，如果，

，

则称

为随机变量的数学期望，或称该分部的数学期望，简称期望或均值.

若不收敛，则称的数学期望不存在.

定义 设连续性随机变量的密度函数为.如果

则称

为随机变量的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值.若 不收敛，则称的期望不存在.

性质3 对随机变量，当存在时有

定义 设函数在可测集上有定义，如果对于任意的实数，集合都是可测集，则称为可测集上的可测函数，或称在上可测，特别的，若可测空间取为是上的可测空间，是中的集，则上的可测函数称为可测函数.

定理 设是上的随机变量，为样本空间，的全体子集记作，为概率，可测函数，则

特别地，若是连续型随机变量，其密度函数是，则

若是离散型随机变量，其分布律为，则

定义 设是上的随机变量，若为定义在某区间上连续的下凸函数，则

若为定义在某区间上连续的上凸函数，则

.

3 不等式的概率证法举例

3.1 代数中不等式的概率证法举例

在运用概率方法证明不等式时，应当仔细观察不等式的特点.如下面的例1，虽然题目看起来十分复杂，但是仔细观察就会发现，每个括号中的式子可以化简为个事件的和.此时如果运用一般的代数方法会显得复杂冗长，就不如用概率论中的知识来解决简单方便的多.

例1 设其中，则

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