Green公式及其应用

论文总字数：7750字

摘 要

Green公式是《数学分析》课程中重要的公式之一，它是联系第二类曲线积分和二重积分的一个主要桥梁。Green公式在数学研究中有广泛应用，本文首先介绍了Green公式背景知识与基本理论，然后搜集了它在第二类曲线积分、计算多边形的面积和重心坐标、求解全微分方程等方面的应用。

关键词：Green公式，曲线积分，二重积分，全微分方程

Abstract： Green formula is one of important formulas in Mathematical Analysis,it is a main bridge to link the second kind of curve integral and double integral.Green formula is widely used in mathematical research.In this paper, we first introduce the background knowledge and basic theory of Green formula and then collect the applications in the second kind of curve integral, calculating area of arbitrary polygond and barycentric coordinate, solving the total derivative equation and so on.

Keywords: Green formula,curve integral,double integral,total derivative equation

目 录

1引言………………………………………………………………………………… 3

2 Green公式 ………………………………………………………………… 4

3 Green公式的应用………………………………………………………… 5

3.1 计算第二类曲线积分 ………………………………………………………5

3.2 曲线积分与路径的关系 ………………………………………………… 6

3.3 多边形的面积和重心坐标………………………………………………… 7

3.4全微分方程求解………………………………………………………11

4 结论 ……………………………………………………………………………14

参考文献………………………………………………………………………………15

1 引言

George Green（1793.7.14-1841.3.31)英国数学家。生于诺盯汉郡，卒于剑桥。幼年即辍学在父亲经营的面包房工作，坚持自学数学，直到40岁（1883）时才进入剑桥厄斯学院，1837年毕业。

Green是英国近代数学物理的先驱，曾在《数学分析在电磁理论中的应用》给出分析学中著名的“Green函数”与“Green定理”（面积分与体积积分的关系），对n维位势力程理论的发展起了奠基作用。但该文在当时并未得到应有的重视，知道他去世5年后（1846年）W·汤晋森爵士重新将它发表才逐渐得到承认。

此外，他还研究过液体平衡定律（1832）、变密度椭球体的引力位势（1833）、波在管道中的传播（1837）等问题，为数学物理中所谓“剑桥学派”的兴起作出了贡献。（详细内容参见文献[1]）

Green公式是数学专业学习中的一个重点和难点，在数学分析的学习中我们已经掌握了利用Green公式来计算积分，那么Green公式还有哪些应用呢？事实上，Green公式的应用相当广泛，利用Green公式可以更为快捷的得出很多结论。本文仅对Green公式的几个简单应用进行研究，得到了比较满意的结果。

2 Green公式

【定理1】 设是单连通区域，由分段光滑的曲线围成,函数在内具有一阶连续偏导数,则有

其中是的取正向的边界曲线。

公式(1)叫，它沟通了沿闭曲线的积分与二重积分.（证明详见文献[2]）

【定理2】 设是单连通域,函数在内具有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价：（证明参见文献[2]）

（1) 沿中任意光滑闭曲线, 有

（2) 对中任一分段光滑曲线, 曲线积分与路径无关，只与起止点有关，

（3）在内是某一函数的全微分，

即

（4）在内每一点都有

3 Green公式的应用

3.1 计算第二类曲线积分

（1）封闭曲线可直接利用Green公式计算

例1、计算曲线积分其中L是圆周的顺时针方向。

解：设;

那么 且

利用Green公式把曲线积分化为二重积分，再利用二重积分的对称性计算其值。得

1. 非封闭曲线，需要构造封闭曲线再计算

如果曲线L不是封闭的，需添加一个辅助曲线，使得L与构成一个封闭曲线，再利用Green公式计算。注意：的方向应该与L的方向一致。

例2、计算其中是的上半圆弧,顺时针。

解：设，

由于L不是封闭曲线，故构造曲线:线段AO，方向从A到O

则由公式

1. 封闭区间里含有奇点的情况

构造包含于L的封闭区间将奇点剖去，再利用公式计算

例3、计算其中是以点为圆心，为半径的圆周

，L为逆时针方向。

解：显然当

当时，由公式得

当时，存在奇点（0，0），构造(),且足够小

并使完全包含于L内，那么在L与所围成区域内利用公式可得：

所以

3.2 曲线积分与积分路径的关系

若函数在单连通区域内连续，且则沿内的任一光滑闭曲线的积分

与路线无关，只与起点及终点有关。

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