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摘 要

不等式作为数学领域的一个重要板块，在数学的各个领域中，都起着十分重要的作用。不等式的证明方是中学数学的难点和重点，证明不等式的途径是利用不等式的性质进行代数变形，经常用到的证明不等式的主要方法有基本法 如：比较法，综合法，分析法。其他方法：如反证法，放缩法，数学归纳法，涣元法，构造法和判别式法等。

关键词: 导数；不等式；方法

Abstract: As an important sector of inequality in the field of mathematics, in various fields of mathematics, plays a very important role. Inequality proof is the difficulty and keystone of middle school mathematics, it is proved that the inequality of the way is using the nature of inequality algebraic deformation, the main methods are often used to prove inequality such as the basic law: comparative method, comprehensive method. Analysis. Other methods such as: apagoge, scaling law, mathematical induction, the other element method, structure method and discriminant method etc..

Keywords: Derivative; inequality; method

目 录

1 前言 4

2 证明不等式的基本方法 4

3其他一些证明不等式的方法 6

4导数在不等式证明中的应用举例 11

结论 16

参考文献 17

致 谢 18

1 前言

不等式是中学数学的重要内容，几乎涉及整个高中数学的各个部分，是每年高考必考的内容.随着新课程改革的逐步推进，高考对不等式能力考查方面也提出了更新的要求，尤其是近年来全国各省、市高考试卷中以高等数学知识为背景来考查不等式各类问题倍受命题的青睐。不等式的证明是高中数学学习的难点，常用证法有比较法、综合法、分析法、数学归纳法等，比较法是一种最基本，最重要的方法，它是利用不等式两边的差是正数或负数来证明不等式，其应用非常广泛，一定要熟练掌握.综合法是由因导果，即从已知条件或已知的真命题出发一步步推出结论成立。分析法是执果索因，即从结论开始，一步步寻求上一步成立的充分条件，直至得出一个真命题为止.我们常用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程，这是解决数学问题的一种重要思想方法，这里将介绍其它一些证明不等式的方法。

2 证明不等式的基本方法

比较法

比较法是证明不等式的方法之一，比较法除了比差法之外还有比商法，它们的解题依据及步具步骤为：

1比差法。

主要依据是实数的运算性质与大小顺序关系。

即

基本解题步骤是：作差——变形——判断符号。

2作商比较法。

当欲证的不等式两端是乘积形式幂指数式可采用作商比较法。

当欲证只需证

欲证只需证

基本解题步骤是：作商——变形——判断。（与1的大小）

例1求证：

证明：

时等号成立。

所以成立。

例2 已知，求证

证明：

又

所以

（1）当时，，所以

（2）当时所以

（3）当时不等式取等号。

所以（1）（2）（3）知，不等式成立。

综合法

综合法就是从已知式已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推出，欲证的不等式，通过一系列已确定的命题（包含不等式的性质，已掌握的重要不等式）逐步推演，从而得到所要求证的不等式成立，这种方法叫做综合法。

几个重要不等式：为实数）

同号）

（当且仅当时等号成立）

例3 已知且 求证：

证明：因为

所以

两边同时乘得

即

所以原不等式成立。

分析法

从求证的不等式出发，分析不等式成立的条件把证明这个不等式转化为判定使这个不等式成立的条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都以具备那么就可以判定这个不等式成立，这种证明方法叫做分析法。

例4 求证：

证明：因为

只需证明

即

即

即

所以原不等式成立。

反证法

反证法是从假设结论不成立入手，推出与已知条件，假设公里，定理式显然成立的实相矛盾的结果，从而判定假设错误，结论成立，这种方法叫做反证法。

反证法属于间接证法，其主要步骤是：

1.作出与命题结论相反的假设。

2.在假设的基础上，经过合理的推理导出矛盾的结果。

3.肯定命题的正确性。

反证法的原理是《否定》之否定定于肯定。

3其他一些证明不等式的方法

构造单调数列证明不等式

数列中，如果对任意的,都有（或），则称为增（减）数列。

例5 求证：

证明：设

则

即 =

由于 0

所以为增数列。

又

因此

即

再设

则

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