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摘 要
本文通过研究近几年数学高考真题，对高考数学中的函数与导数的考点进行归纳整理. 探究高中函数的性质和应用，利用导数解决函数、方程、不等式，以及生活中的优化问题.关键词：函数，导数，高考数学
Abstract：In this paper, I summarize the test points of functions and derivatives in the mathematics of college entrance examination by studying the real questions of mathematics college entrance examination in recent years. At the same time, I explore the nature and application of high school functions, and using derivatives to solve functions, equations, inequalities and optimization problems in life.
Keywords：Function, derivatives, mathematics in college entrance examination
目 录
1 前言 4
2 函数在高考中的考点 4
2.1 函数的表示 4
2.2 函数的基本性质 5
2.3 指数函数 5
2.4 对数函数 6
2.5 幂函数 8
2.6 函数与方程 8
2.7 函数模型及其应用 9
3 导数在高考题中的应用 10
3.1 导数的运算 10
3.2 求曲线的切线方程 10
3.3 判定函数的单调性 10
3.4 求函数的极值与最值 11
3.5 导数的综合应用 11
结论 13
参考文献 14
致谢 15
1 前言
函数的相关知识，贯穿整个中学数学体系. 从初中开始，学生通过学习一次函数，二次函数，就对函数有了基本的认识. 而高中数学中对函数的学习，会在此基础上进行拓展与延伸. 引入新的函数概念和性质，研究新的函数类型，以及在解题中的应用.
在学习函数的过程中，导数是解决函数问题的有力工具，有着广泛的应用. 因此，对函数与导数的学习，具有重要意义.[1] 而且，函数及导数一直都是数学高考的热点，所占分值很大，而且题型复杂多变，具有一定的区分度. 在本文中，通过分析高考题，归纳整理与其相关的考点和题型. 分类探究其相对应的解法，总结解题方法与规律.
2 函数在高考中的考点
2.1 函数的表示
例1 函数定义域为 .
分析 先列出不等式（组）来表示使已知函数有意义的条件，再求解. 将解集用集合或区间表示，此即为所求.
例2 若，试求.
解法一 由，即. 所以可得（配凑法）
解法二 设，则.把它代入关系式中，可以得，所以.（换元法）
注 函数解析式的求法
待定系数法：先设出函数的一般式，再将特殊值代入.
配凑法：先对变形，使其可用表示. 再把看作一个整体，用替换即可.
换元法：设，解出. 代入到，求得的解析式. 再用替换，得的解析式.[2]
数形结合： 结合图象，分析函数特征，归纳函数解析式. 大多应用于分段函数，周期函数等.
例3 若，且 试求.
解 由，知的周期. 故有，，. 因此，.
注 分段函数必须要分类讨论，明确不同区间内的函数解析式. 尤其要检验区间的端点处的值能否取到. 而根据函数的周期性则可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上来考虑.
2.2 函数的基本性质
例4 函数的增区间为 .
分析 先列出不等式来表示使已知函数有意义的条件. 再分别讨论，的单调性. 再根据“同增异减”的判定原则，从而找到复合函数的增区间.
注意最后整理出的结果中，区间不要有遗漏或重复.
例5 如果奇函数在上是减函数.，. 试求当成立时，的值域是 .
解法一（特殊值法）
取，即有，. 解得.
解法二（性质法）
且.那么有，也就是. 所以.
注 奇函数：，偶函数：. 其中关于原点对称. [3]
2.3 指数函数
指数函数的性质 | |
定义域为，值域为，函数图象恒过定点. | |
当时，；当时，. | 当时，；当时，. |
在上是单调增函数 | 在上是单调减函数 |
例6 若函数，设且，则的值域为 .
解 如图所示，作出题中分段函数在坐标轴上的图象. 因为函数在和上都是增函数，因此当时，成立. 那么可得，. 根据图象可知，若使成立，则，故，所以.
注 高考数学中常常考查指数型复合函数图象. 解决此类问题，一般先作出最基本的指数函数图象. 然后通过一些变换而得到所求图象. [4]
例7 已知，则它的解集为 .
分析 在本题中，要先对进行整理，再化简. 然后判断指数的大小，取值范围. 整理所得结果，得到的解集.
例8 若函数的定义域，值域都为， .
分析 本题考查指数函数性质的应用，解题关键就在于需要分类讨论底数与两种不同情况.
2.4 对数函数
对数函数的性质 | |
定义域为，值域为，函数图象恒过定点. | |
当时，；当时，. | 当时，；当时，. |
在上是单调增函数 | 在上是单调减函数 |
例9 的图象为折线（如图所示），则 解集为（ ）
A. B. C. D.
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