解三角形在高考数学中的考点及解题方法探究

论文总字数：8860字

摘 要

关键词：三角形，正弦定理，余弦定理，应用

Abstract: Based on sine theorem and cosine theorem, I probe into the high frequency test point of solving triangle in college entrance examination mathematics by combining trigonometric function, triangle inner angle and theorem and plane vector.

Keywords: triangles,sine theorem,cosine theorem, application

目 录

1 前言 4

2 解三角形在高考数学中的考点 4

3 正弦定理 4

3．1 正弦定理的概念 4

3．2 正弦定理的证明 5

3．3 正弦定理的应用 5

4 余弦定理 9

4．1 余弦定理的概念 9

4．2 余弦定理的证明 10

4．3 余弦定理的应用 10

5 正、余弦定理的应用 14

5．1 正、余弦定理的综合运用 14

5．2 正、余弦定理的实际应用 14

结 论 17

参 考 文 献 18

致 谢 19

1 前言

解三角形是高中数学必修第一章所学习的内容，这是必修系列的最后一册书，在解三角形时要综合考虑已学过的知识，注意知识之间的联系.对于三角形而言，它属于平面解析几何的范畴，在初中时就已经学习了一些特殊的三角形，会在直角三角形中进行运算，知道它们的边角关系，那么对于解斜三角形呢？我们可以利用类比与化归的思想，类比于直角三角形，得到斜三角形的一些性质.那么，任意三角形的边角之间具体有着怎样的性质呢？如何证明？如何利用这些性质来解决问题呢？在高考中又以什么样的类型出现呢？我们又该如何解题呢？本文将着重探索解三角形在高考数学中的考点及解题方法探究.

2 解三角形在高考数学中的考点

解三角形的定义：一般地，我们把三角形的三个角,,与其对边,称为三角形的元素,把已经知道了三角形中的几个元素来求解未知元素的过程就称为解三角形^[1].

解三角形作为高考数学的重要考点之一，也是常考的题型，所考题型难易程度是属于基础题；此类问题大多为正弦定理、余弦定理与三角函数、平面向量相结合的综合问题和正、余弦定理的实际运用.

我们在运用正、余弦定理解三角形问题时，实际上就是用正、余弦定理与给出三角形中的部分角或边来解出其余的角与边；近年来该知识点在高考中的主要体现为：三角函数与解三角形的综合性问题；余弦定理与三角函数相结合的问题体现了高考考查的要求，解决此类问题经常是由三角函数的基本关系式求出三角形中的角，再利用余弦定理求出相关的边；而正弦定理与余弦定理相结合的综合问题是高考考题中的常见形式，主要体现了知识之间的综合，所以以三角形为依托，考察正弦定理与余弦定理的应用仍将是今后几年高考考察的重点，值得我们加以关注；事实上，正弦定理，余弦定理在日常实际生活中有着非常广的运用，大多数是涉及测量问题（距离、角度、高度等等），这些都是高考的关注点，也是考点所在，同时也体现了新课标准中数学应用的价值，体现了数学与日常生活的联系.所以本文以下章节分别从这几点出发，结合例题来探索解三角形在高考中的考点以及方法探究.

本文无特别说明，分别叫做中各个角所对应的边.

3 正弦定理

3．1 正弦定理的概念

正弦定理：在三角形中，每条边与它的对应角的正弦之比相等^[2].就是在中有,(其中为三角形的外接圆的半径），且上式对任意三角形均成立.

下面我将给出正弦定理的几个常用的基本形式，用来解决三角形中不同类型的问题：（其中为外接圆的半径）

形式一：；

形式二：，，（角到边的转换）；

形式三：，，（边到角的转换）；

形式四：（求面积）.

3．2 正弦定理的证明

证明正弦定理：设中角,, ，则有.

证明：是,直径；（1）为锐角时，

连接,则,,又因为,所以.（2）如图2所示为钝角时，连接,则,,又因为,得

,即.（3）当为直角时,,显然有.所以无论,总有,同理可证,,

.

3．3 正弦定理的应用

3.3.1 运用正弦定理解三角形

如果已经给出三角形其中两个角的大小与任意一条边，则可以求剩下的两条边和一个角（此时，满足该条件的三角形解出来有且仅有唯一一个）；如果给出两条边与一条边的对角，则可以解出另一条边的对角，并且还可以求出剩下的边和角的大小或边角关系.

在求解过程中应该注意：①如果条件中有 这两个边和其中一条边的对角，那么满足该条件的三角形的个数有：零个；仅有一个或；有两个；

②在中，有如下关系：,......即大边对大角.

下面我将给出运用正弦定理解三角形的具体题型：

题型一、知三角形的一边和两角来解三角形

如果给出了三角形的一边和两角，我们能先运用结合题目中所给的条件，已知其中的两个角求另外一个角；然后运用正弦定理去解出余下的两边，从而解出三角形的全部边与角.

下面我将结合例题进行说明：

例1 ，,,,,,,,

,求边长,和角.

解题思路 在三角形中，运用三角形的内角和为，给出其中的两个角，解另外一个角；再根据题目中所给的一条边的长度,运用正弦定理解余下的两条边.

解 因为，所以.

根据正弦定理可得，

.

故,,.

题型二、在一个给定的三角形中，题目中给出两条边与一条边的对角来求解三角形

若题目中给出它的两条边与一条边的对应角，则可以先使用正弦定理：知一条边与它的对角的正弦值来求解另一条边的对角的正弦值；再根据所求角的正弦值反过来求角的度数（此时要结合题意进行取舍，因为正弦值在这个区间有两个角度与之对应）；然后再利用三角形内角和定理已知其中的两个角来解出另一个角；最后结合上述所求出的边与角，利用正弦定理来求另一条边.

下面我将结合例题进行说明：

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