论文总字数：5840字

摘 要

关键词：矩阵的迹 ；实对称矩阵；反对称矩阵；正定矩阵；埃尔米特矩阵

Abstract: In this paper, we give the properties of trace of some special matrices, including 

real symmetric matrix trace,  antisymmetric matrix trace,  positive definite matrix trace, 

Hermitian matrix and other special matrix trace. We also discuss the application of trace of matrix in several kinds of problems.

Keywords:Trace of matrix; Real symmetric matrix; Antisymmetric matrix; positive definite matrix; Hermitian matrix

目录

1 引言 4

2 矩阵的迹的定义与性质 4

3 特殊矩阵的迹的性质 5

3.1 实对称矩阵迹的性质 5

3.2 反对称矩阵迹的性质 7

3.3 正定矩阵迹的性质 8

3.4埃尔米特矩阵迹的若干性质 9

3.5其他特殊矩阵的迹及其性质 11

4 矩阵的迹在解题中的应用 12

4.1在解有关特征值问题中的应用 13

4.2在证明有关否定命题中的运用 13

4.3在证明有关不等式中的运用 15

结论 16

参 考 文 献 17

致 谢 18

1 引言

矩阵的迹在高等代数中有重要意义，在其他数学领域也有很广泛的应用.但是它在高等代数的教学中只是提及概念，并没有进行深入的研究，

，以及重要性质，特别是一些特殊矩阵，它们的迹有特殊的性质.矩阵的迹在一些问题的解决中也能起到很重要的作用.所以本文将从以上几个方面研究，做一个较为全面的论述.

2 矩阵的迹的定义与性质

定义2.1^[1] F，，叫做矩阵，

.

性质2.1^[2] 设是一个数域，矩阵,,则

（1） ；

（2） ；

（3） ；

（4） .

证明 显然（1）、（2）、（3）很容易直接验证，现证明（4）.

设，根据矩阵的乘法，，所以 .

特别地，若是矩阵，是其转置矩阵，则.

引理2.1^[2] 相似的矩阵有相同的迹.

证明 令，由（4）式，得

.

引理2.2^[3] 设阶方阵的特征根为（可能有重根），则

；

，其中为任意正整数.

证明 设，则的特征多项式为

=.

由根与系数的关系可知就是特征根的和.

因为为阶方阵的特征根，所以存在可逆矩阵，使得

，

可知仍是上三角矩阵，且.

因此的全部特征值为，且，所以构成 的全部特征值，由已证明的得

.

引理2.3^[4] , are all real positive definite and identical order matrices;.

Then .

3 特殊矩阵的迹的性质

现在已知矩阵的迹及性质，.

3.1 实对称矩阵迹的性质

定理3.1.1^[5] 设、是，，的特征根是，且，，则有

（1）；

（2），其中，为叉积（或称Kronecker积）.

证明 （1）因为，且对实对称矩阵，存在正交矩阵,使,其中为对角矩阵，即

.

所以

.

同理，

，

故有

.

证毕.

推论3.1.1^[5] 设和为实对称矩阵，的特征根为，的特征根为，且，，且与同号，则

（1）；

（2）.

推论3.1.2^[5] 若和为实对称幂等矩阵，则,其中和依次为和的秩.

推论3.1.3^[5] 设阶Toeplitz矩阵序列，

式中，，均为实数，且，则对任意，有

.

证明 用反证法.若对某个，在时有

,

根据定理 设和均为埃尔米特矩阵，且,则,得

.

另一方面，.因此，有

.

这与矛盾，证毕.

3.2 反对称矩阵迹的性质

定义3.2.1^[6] 设矩阵，若,那么就称矩阵是反对称矩阵（亦可称为斜对称矩阵）.

性质3.2.1^[6] 设，且；

(1)，，那么；

(2)，为反对称矩阵且可逆，那么.

证明 （1）由反对称矩阵的定义知：，当时，.

所以，故.

（2）因为,所以也是反对称矩阵，那么由（1），得.

性质3.2.2^[6] 设，且为反对称矩阵，则有

.

证明 因为,所以是反对称矩阵.同理，也是反对称矩阵，故.

3.3

定义3.3.1^[7] ，,

，.

定义3.3.2^[8]

.

性质3.3.1^[7] （1）,，；

（2）,，；

（3），，.

证明 （1）由矩阵，为正定矩阵得：设矩阵

.

则.

因为,由不等式

两边取迹得

,

即

.

1. 因为矩阵，为正定矩阵，则存在可逆矩阵，，使得

,

就有

,

则可得矩阵和矩阵为相似矩阵.由矩阵的迹的基本性质得 ,

由不等式得 ,

所以

.

（3）设矩阵的特征多项式的根为，因为矩阵,且，那么矩阵为正定矩阵，即：，其中.因为矩阵的迹等于矩阵的所有特征多项式的根的和，所以.

性质3.3.2^[9] Assume that , are matrices with a same order, are constants.Then.

3.4埃尔米特矩阵迹的若干性质

定理3.4.1^[5] 设和为，，

.

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