分段函数及其应用

论文总字数：3876字

摘 要

关键词：分段函数，极限存在性，连续性，可导性，可积性

Abstract：Limit existence, continuity, derivability and integrability of functions are very common in mathematical analysis. This paper mainly discusses the above properties of piecewise functions, and uses examples to show the application of continuity, derivability and integrability in concrete examples, so as to achieve the purpose of solving mathematical problems more conveniently.

Keywords： Piecewise Function, Limit Existence, Continuity, Derivability, Integrability

目 录

1 引言 4

2 极限存在性 4

3 连续性 6

4 可导（微）性 7

5 可积性 10

6 应用 11

参考文献 14

致谢 15

1 引言

函数是发生在集合之间的一种对应关系，而分段函数更是由于它的特殊性，成为数学分析中较为常见的函数.但比较可惜的是我们所学的书本并没有对分段函数进行较为详细的论述，只是以例题或者习题的形式出现，给人留下的印象不深刻，应用的范围也不广阔，在课堂上的显得并不是很起眼，大部分学生对分段函数的性质也是略显模糊，对其的运用也十分生疏，这也导致学生在解题时常常出现低级的错误.为改变这一状况，先前已有许多人对分段函数的性质进行了各种方面的研究，有深有浅，也有不少对性质做出了不同的解读，类如本文参考文献中所提到的期刊或者书籍都是对这一方面的探讨，为后人的研究打下了良好的基础，借鉴他们的研究成果，本文较为系统地讨论了分段函数的连续性、可导性、可积性，通过列举不同类型的题目，讨论了上述性质在具体问题上的具体应用，使我们能更好地理解和掌握性质.

给定一个数集，设其中的元素为，对施加对应法则，记作，得另一数集，设中的元素为，与的等量关系可用表示，此关系式叫函数关系式，简称函数^[1][1].

从中小学阶段我们就开始频繁接触到分段函数.不论是有关计算方面的又或者是将一般函数化为分段函数来简化答题步骤的，都是我们所熟悉的，对此也是有一定使用经验的.

分段函数指在自变量的不同变化范围内，对应法则用不同解析式子来表示的函数^[2][2].

其有两种形式：

第一种形式是分段点左右的数学表达式一样，即

第二种形式是分段点左右的数学表达式不一样，即

2 极限存在性

首先我们要了解一下什么是左右极限，这是我们开始研究的前提条件.

在（或）有定义，为定数，若对，存在正数 ，当(或)时，称数为当（或）的右（左）极限，记作^[3][3]

存在在的左右极限都存在且相等，若不相等或其中之一不存在，极限不存在^[4][4].

例1

在的极限

解

，根据有界量和无穷小量的乘积还是无穷小量，可知，极限存在.

，易知极限不存在.

注：当心含参陷阱，适度运用分类讨论，不能急于求成，此处还需熟知一些无穷的概念，方便进行数学计算，有利于分辨极限，最终在解题时快人一步.

例2

在的极限 ^[5][5]

解

故极限存在

得.

注：遇到相似的题目，一定要注意到该点的函数值，并不是只需要求解左右极限就可以轻松完成的，一定要牢记方法，在抓住重点的同时也要防止遗漏的发生，对于一些基础的极限运算要保证不犯错误.

3 连续性

在（）内有定义，若（），称在点右（左）连续[3].

若在点无定义或有定义而不连续，称点为的间断点，间断点分为两种:若，都存在，点是第一类间断点，若，至少有一个不存在，点是第二类间断点[4].

若，在点无定义或有定义但，点是可去间断点[3].

若在点的左右极限都存在但，点是跳跃间断点[3].

上述两类统称为第一类间断点.一般做题时会说明是哪种间断点.当然也有题目是让我们去辨别是何种间断点，此时我们应该要注意到其中的区别.

此外第二类间断点中还有一种特殊的点叫做无穷间断点，它的一侧极限趋近于无穷大.一般不会遇到该点，此处就做简单的介绍.

例3

判断的连续性^[6][6].

解：

在和，是连续的，在处，

，

在处连续，故连续.

注：含有绝对值的函数可看作分段函数，不仅要考虑到分段点的连续，还要注意写明在其他定义域时的连续，最终能够看成是整个函数的连续，由此得到连续性.

例4

判断有哪些不连续点.

.

解

易知在时连续.

时，因为，

是不连续点.

时，虽然，但，

是不连续点.

注：分段函数很可能在分段点处间断^[7][7]. 归根到底判断连续的方式，无非是根据其定义，分析在某点的连续，如果说有一个不连续点，那就不符合处处连续的概念.然后再深层的研究就是判断其间断点类型，当然也是根据定义.

4 可导(微)性

假设在有定义，如果极限存在，那么在可导.

如果 ，是与无关的常数，是的改变量，是的改变量，那么在可微.

若，

称在右可导与左可导.

例5

，求^[8][8].

解：

，，

，，

在连续.

又.

.

上述两者相等，因此.

由此得

注：先计算左右导数，再根据导数与左右导数的关系进行判定^[9][9].这是关于寻求分段函数的导数的窍门，可以明显看出分段点的求导是解题的关键所在，当然也不能忘记首先要确保其的可导性.

例6

，是否存在.

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