论文总字数：5017字

摘 要

关键词：积分，积分

Abstract：Lebesgue integrals and Riemann integrals can not be ignored in mathematical analysis, and they play a huge role in the history of mathematics. This article adopts the relevant definitions, related theorems, and related properties of Lebesgue integrals and Riemann integrals. Analysis and comparison, The difference and connection between the two integrals are obtained.

.

Keywords：Lebesgue integral,Riemann integral

目录

1 引言 4

2 Lebesgue积分与Riemann积分的定义 4

2. 1 Lebesgue积分与Riemann积分的“极限式”定义 4

2. 2 Lebesgue积分与Riemann积分的“确界式”定义 5

3 Lebesgue积分与Riemann积分的相关定理 5

4 Lebesgue积分与Riemann积分的相关性质 9

4. 1 Lebesgue积分的重要性质 9

4. 2 Riemann积分的重要性质 9

5 Lebesgue积分与Riemann积分的相关应用 10

结论 12

参 考 文 献 13

致 谢 14

1 引言

• 在20世纪初,积分被来自法国的引入.积分在一定范围内冲破了在积分中存在的诸多障碍,扩张了可积函数的范围.可以说，积分是积分的一种推广,因为积分中不仅仅蕴藏有积分所能够到达的成就,并且还在较大的程度上克服了积分的限制,积分与积分的关系相当密切,因此,在建立了积分之后指出两种积分间的关系便可以说是理所当然的了^[1].

2 积分与积分的定义

一般来说,积分的定义有两种表达方式,分别为“极限式”定义和“确界式”定义.而积分除了这两种定义外还有着其它表达方式,本文为了简便,只运用了以下两类定义来进行比较.

2．1 积分与积分的“极限式”定义

2. 1. 1 积分的“极限式”定义

设有界函数在可测集上有定义,其中,使.若的每一个分割,记

,

对,先求和,然后求极限,若具有该极限,就称 在上可积,且该极限为在上的积分,记为^[2].

2. 1. 2 积分的“极限式”定义

设是定义在闭区间上的有界函数 ,对区间的每一个分割

, 记

, ,

对,先求和,然后求极限,若具有该极限,就称在区间上可积.且该极限为在上的积分,记为^[2].

由以上获悉,两个定义都是作一个分割,然后求和,再求极限.在积分中,是向值域作分割,在积分中则向定义域作分割.

2．2 积分与积分的“确界式”定义

2.2.1 积分的“确界式”定义

设是非空可测集,互不相交,是的任意一个可测分割,把在上的上、下确界分别记作,向分割求和,称为函数关于分划的大和数,称为函数关于分划的小和数 ,记 称为在上的上积分,记 称为在上的下积分.如果,则称是在上可积的,并将此时的共同值称为在区间上的积分,记为^[2].

2.2.2 积分的“确界式”定义

设函数在闭区间上有界,对 任意分划

,

记为函数在上的上确界,为函数在 上的下确界,相对于分划作和称为函数关于分划的大和数,称为函数关于分划的小和数,记称为在上的上积分,记,称为在上的下积分.如果则称在上可积,并称此时的共同值为在上的积分,记作^[2].

由以上获悉,两个定义在表达方式上是相似的,首先都是对积分区域进行分割,从而界定大和和小和;之后再界定上、下积分;最终,定下规则，称被积函数在积分区域上是可积的前提是上、下积分相等.

3 积分与积分的相关定理

定理1^[3] 设是可测集上的有界函数,则在上可积的充要条件为对,有的分割，使得

.

其中为在上的振幅.

证明 充分性 若,则由于

,

得

由的任意性知,或,故函数在上可积.

必要性 若,则由上、下确界的定义,对,存在有的分割,,使得

,.

令,则由前面的讨论知

,

仍成立,于是

.

证毕.

定理2^[3] 设有界函数在可测集上有定义,则在上可积的充要条件是在上可测.

证明 充分性 设是上的可测有界函数,令

,

设,则对,有.,取,作的分割

,

使,令

，，,

则这些都是的可测子集,且它们是两两不相交的,因此,构成的一个分割,有

.

故由定理1知在上可积.

必要性 设在上可积,则由定理1,对,的一个可测分割,使得,并且序列中的每一个分割都比它前面的那个分割细.事实上,若不是的加细,我们可用代替,从而保证仍然成立.

设,,令

当

当

则为上的两个简单函数列.由于中的每一个分划都比其前面的细,有

，

即,都在上单调有界,故

，

存在,且.由于简单函数列都是可测函数列,所以都在上可测.

下证于,从而于,则的可测性获证.

如若不然,即于不成立,则.由于

，

故必有正整数,使得,记,由于在上恒有

成立,则对一切的正整数,有

.

这说明当时,有,于是

.

这与矛盾.证毕.

定理3^[4] 设函数在区间上可积,则亦在上可积,且积分值相同，即.

当

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