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摘 要

关键词：环境污染，SIS传染病模型，基本再生数，稳定性

Abstract： In this paper, an SIS epidemic model with environmental pollution is established, and the dynamics of the model is analyzed. By calculating the basic reproduction number, the existence of disease-free equilibrium and endemic equilibrium is discussed, and its stability is studied. Finally, through numerical simulation, the change trend chart of the solution of the model is drawn, and the method of controlling the spread of infectious diseases is put forward.

Keywords：environmental pollution, SIS epidemic model, basic regeneration number, stability

目录

1 引言 4

2 预备知识 4

3 模型建立 6

4 主要结果 7

4.1 基本再生数 7

4.2 平衡点的存在性 8

4.3 平衡点的稳定性 10

5 数值模拟 13

结 论 17

参 考 文 献 18

致 谢 19

1 引言

从古自今，人们一直深受传染病的困扰.在医疗水平落后的古代，人们对天花感到恐惧，似乎天花是一种不治之症.随着社会的发展，科学技术的提高，疫苗和抗生素的出现和广泛使用，使得像天花一类的传染病得到了控制.但是一些诸如血吸虫病、疟疾这样的传染病又开始传播.传染病的发生、发展和传播是病原体和宿主、病原体和外界环境相互联系、相互作用和相互斗争的结果^[1].可见传染病的传播与环境因素密不可分.而环境的污染与恶化是导致传染病传播的重要原因之一.大气污染、水环境污染、全球气候变暖以及土壤污染等环境问题日益严重.日益严重的环境问题导致了越来越严重的传染病.根据像血吸虫病这一类没有免疫性传染病的特点，人们建立数学模型来研究考虑环境因素的传染病的传播规律.文献^[2]在以往模型的基础上进行改进，将环境污染水平作为影响疾病传播的重要因素，讨论该模型的和地方病平衡点，然后根据2010年全国血吸虫病疫情数据，进行数值模拟，并给出控制疾病的方法.文献^[3]研究在儿童中传播较为广泛的手足口病，通过建立带直接和间接传染的模型来研究环境因素对手足口病传播的影响，最后结合2013年国家统计局公布的官方数据对模型进行数值分析，提出几种有效的控制措施.文献^[4]研究了一类具有毒理学的SIS传染病模型，在建立模型时将环境污染作为首要因素，利用证明系统存在周期解，同时证明这种解的，并且获得了感染类灭绝和弱持久之间的阀值.

按照传染病传播的一般规律，用机理分析的方法建立相应的模型.传染病主要有SI模型，SIS模型，SIR模型.其中在SI模型中，在此环境下仅存在感染者与易感染者.SIS模型则在SI模型的基础上，感染者治愈后又转为健康者，健康者可再次被感染，即适合该模型的传染病没有免疫性.SIR模型则在SI模型的基础上，感染者治愈后立即移出感染系统，称为移出者，即适合该模型的传染病存在免疫性.

本文根据所学的专业知识以及相关文献，将环境污染作为重要因素，建立传染病模型，并对模型进行动力学分析.

2 预备知识

由文献^[5]可知平面定性理论：

平面线性系统的一般形式为：

(1)

的系数矩阵

.

只有一个.根据附近轨线分布情况的形式，可以确定奇点有四种类型，即：，，和.

此时可以写成形式：

（2）

利用矩阵中相关定理可知，存在，使得

（为约当标准型）,

令，作代换，则

,

于是系统（2）化为

(3)

当的特征根为时，

.

1. 同号时

①当时，轨线在时趋于原点；此时，原点是系统（1）的稳定结点.

②当时，轨线在时趋于原点；此时，原点是系统（1）的不稳定结点.

1. 异号时，原点是系统（1）的不稳定的鞍点.

3 模型建立

本文所要研究的SIS传染病模型是将环境污染作为首要因素的：

根据这类疾病的特点，我们可将人群分为两类以及引入的相关参数（见表一）.

表一 各参数表示的意义

根据这类疾病的特点，我们分析出其传播仓室图（见图一）.

图一 SIS传染病的传播仓室图

通过对仓室图，我们可以建立以下模型:

（4）

考虑该模型各参数的生物学意义，我们在此区域

,

内研究该模型.

4 主要结果

由于，可将代入系统（4），得到

（5）

则有系统（5）与系统（4）等价，下面研究系统（5）的相关性质即可.

4.1 基本再生数

在传染病模型动力学研究中是一个极其重要的概念.表示在发病初期，当所有人均为易感染者时，一个病人在其平均患病期内所传染的人数^[6].是决定疾病是否消亡的一个.当时，疾病逐步消亡，当时，疾病始终存在进而形成地方病^[7].

利用文献^[8]中相关知识与结论，来计算系统（5）的.计算可得

, .

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