函数的凹凸性和不等式的证明

论文总字数：4981字

摘 要

函数的凹凸性是高等数学中的一个重要概念,本文以凸函数为例给出其定义以及判定定理,随后证明Jesen不等式.学习证明不等式是数学学习中必不可缺的一环,其对整个知识体系尤为重要.函数的凹凸性可以巧妙运用于不等式的证明,为其提供新的证明思路.为此研究函数的凹凸性的定义、性质和应用十分必要.本文将运用函数的凹凸性证明几个常用的特殊不等式,例如均值不等式、平均值不等式等,以便体会凹凸性在证明不等式时的优势.最后给出一些实际例题,运用函数的不等式去证明,提高应用技巧.

关键词：凸函数等价定义,凸函数判定定理,Jesen不等式,特殊不等式的证明

Abstract： The convexity of functions is an important concept in higher mathematics. In this paper, the definition and the determination theorem of convex functions are given, followed by the proof of Jesen inequality. Inequality is an important content in mathematics, and the proof of inequality is particularly important. The convexity of function can be skillfully applied to the proof of inequality, which provides a new proof idea for it. Therefore, it is necessary to study the definition, properties and applications of convexity of functions. In this paper, the concavity and convexity of functions are used to prove some special inequalities in common use, such as mean value inequality, mean value inequality, etc., so as to realize the advantages of concavity and convexity in proving inequalities. In the end, some practical examples are given, and the inequality of function is used to prove.

Keywords： equivalent definitions of convex functions, convex function theorem, Jesen inequality, proof of special inequalities

目 录

1. 前言……………………………………………………………………………………………… 5

2 函数的凹凸性及其判定……………………………………………………………… 5

3 利用函数凹凸性证明不等式…………………………………………………………… 6

结论 …………………………………………………………………………………………………… 13

参考文献………………………………………………………………………………………………14

致谢 …………………………………………………………………………………………………… 15

1 前言

不等式作为高等数学中极为重要的一个部分,它对培养解题能力、发散思维、数形结合都有着重要的作用.除此之外,对基础数学而言,函数和不等式都是其重要组成部分.函数的凹凸性为不等式的证明提供了一条新的思路,以其精妙的技巧性解决了许多特殊不等式的证明难题.因此,研究函数的凹凸性就成为了极为重要的一个课题.

作为函数的一个重要分支,凹凸函数在数学研究的各个方面都有重要运用.近年来,以高等数学为知识背景的题目在各种考试中层出不穷.函数作为数学研究中极为重要的一块,自然受到格外关注.在这种背景下,能与不等式证明挂钩的函数凹凸性的地位也就水涨船高,成为了命题的热门.

函数的凹凸性本身就是函数研究中的重要一环,加之其与其他知识的联系,其研究的必要性不言而喻.研究函数凹凸性与不等式证明之间的关系,不仅给不等式的证明提供了方法,更是融汇了不同种类的数学知识.这种证明方式不仅可以培养发散思维,也有利于对学习过的知识进行纵向探究.

2 函数凹凸性的定义及其判定

定义1^[1,2] 设函数为定义在区间上的函数,若对任意的以及实数,恒有

, (1)

则称为定义在区间上的凸函数.

注1若函数在区间上连续,对于任意的,恒有

, (2)

则称为定义在区间上的凸函数.

定理1 设函数在区间上可微,则函数在上是凸函数的充要条件是对,恒有

, (3)

证 设,由(3)式,和

,

可知

,

,

上式分别乘相加可得

,

可得为上的凸函数.

定理2 设函数在区间上可微,则函数在上是凸函数的充要条件是上的增函数.

定理3 ^[3] 设函数为区间上的二阶可导函数,则函数在上是凸函数的充要条件是.

证 (不妨设),,令,则有

,,

由泰勒公式得

,,

其中,于是

,

再由,所以

,

即在上是凸函数.

定理4 若为区间上的凸函数,则,,有

. (4)

注2 若函数为区间上的凸函数,则对,有

. (5)

3 利用函数凹凸性证明不等式

例1^[4] (均值不等式) 若,试证明

.

证 考察函数,由于 ,所以可以得出为凸函数,从而,有,有

,

在上式中,令,即得

.

例2 (平均值定理)若,试证明.

证 考察函数,,,所以为凹函数,由(5)式变号可得

,

两边去对数符号即可得

.

相同的我们可以得到

,

连列可得

.

也就是调和平均值小于几何平均值小于算数平均值.

例3 (加权平均值定理)若, ,且,试证明

.

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