几类矩阵方程的解

论文总字数：4123字

摘 要

本文总结了几类特殊的矩阵方程及其解，并且探讨了这几类方程较为技巧性的解法。在本科阶段的学习中，已粗略了解了当在可逆条件下，矩阵方程和的简便运算和求解方法。本文在为可逆矩阵的基础上，进一步归纳了为一般矩阵时有解的条件并进行了求证。类似的，讨论了有解的条件， 再由和的定理和解法推广到有解以及有惟一解的充要条件。为丰富本文内容，讨论了

和的解，并以例题的方式验证。

关键词：齐次线性矩阵方程，非齐次线性矩阵方程，矩阵方程的解，初等变换

Abstract: This paper summarizes several special matrix equations and their solutions, then discusses the more technical solutions of these types of equations. In the undergraduate study, we have a rough understanding of the simple operation and solution method of matrix equations and when is under reversible conditions. On the basis of being a reversible matrix, this paper further summarizes the conditions for solution when is a general matrix and proves it. Similarly, the conditions for "s solution are discussed, and then the theorems and solutions of and are generalized to with solutions and with unique solutions. To enrich the content of this article, the solutions of ， are discussed and verified by way of example.

Key words: homogeneous linear matrix equation, nonhomogeneous linear matrix equation, solution of matrix equation, elementary transformation

目 录

1 引言 3

2 矩阵方程，的解 3

3 矩阵方程的解 7

4 矩阵方程的解 9

5 矩阵方程的解 12

结论 14

参考文献 15

致谢 16

1 引言

线性矩阵方程在矩阵论中有着举足轻重的地位，其研究不仅在数学，更是在物理学、力学、理论电工技术等等方面有着广泛的应用.在矩阵论的已有图书中，甘特马赫尔的著作被公认是最具地位的著作之一，而我国从九十年代初逐渐开始了对矩阵方程的研究.文献[1]利用矩阵的逆给出了的惟一解，进而文献[2]和[6]在为一般矩阵的情况下由矩阵的秩定义了和有解的充要条件.在高等代数的教材中，一般而言，矩阵的运算不满足乘法交换律，文献[7，8]应用逆矩阵的相关知识求解.

线性矩阵方程的求解的过程与结论对于后续的研究有着十分重要的应用价值，同时也是进一步研究线性方程组和矩阵论等的理论研究，对将来帮助其他学生学习矩阵方程及其解有意义.

下文包含了几类齐次与非齐次的线性矩阵方程，如，

等.文中表示矩阵的秩，用指代分块矩阵，指代矩阵的转置.当，若矩阵方程

，

其中，是矩阵.如果满足上述方程，则称为矩阵方程的解.

本文主要总结了几类特殊的矩阵方程的解.

2 矩阵方程，的解

对于，若且可逆，，而为未知矩阵，则有惟一解，解为

.[^[1]]

因为存在一系列初等矩阵，使得可逆矩阵

，

则，故对于分块矩阵有

.

因此，对分块矩阵实施初等行变换即可解得.

相似的，对于矩阵方程，若是非退化的，则有惟一解为

.

此时，将视为， 再施行初等行变换，则.

若矩阵是一般矩阵，则不适用上述结论.

定理2.1[^[2]] 若，，那么有解的充分必要条件是

.

证明 不妨设列向量组，的极大线性无关组是，故.将矩阵和都按列进行分块，可得，.

充分性.由，而为的极大线性无关组，那么也是的极大线性无关组，所以可由线性表出.而与是等价的，故可由线性表出，即必定存在，使得.

必要性.因为矩阵方程有解，则可由线性表出，而可由线性表出，故可由线性表出，此时，.而，故.

推论2.1 若，，那么有解，即

，则

1)若，该有惟一解;

2)若，该有无穷多解.

同理可得

定理2.2 若，，则有解的充要条件是

.

推论2.2 若，，有解，即，则

1)若，该有惟一解;

2)若，该有无穷多解.

从上述定理与证明中可总结出矩阵方程的解法：将分块矩阵进行初等行变换

，

其中表示的秩，是矩阵，是矩阵，是矩阵，是矩阵，那么

1)若，则无解;

2)若，则有解.

当，即有解时，若有，继续初等变换得，则为所求的解；若，变换后得，于是，的解为，其中是的特解，是的通解.

若，求解时类似于，只需将上文的行变换变为列变换.

例2.1 设为矩阵，，，试求矩阵方程是否有解及其解的个数.

解 由，得

，

则

，

由定理2.1知矩阵方程有解.

又因为

，

则由推理2.1可知矩阵方程有无穷多解.

例2.2 设，求解矩阵.

解 令

，，

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