正交矩阵的若干性质

论文总字数：5893字

摘 要

关键词：正交矩阵，矩阵，对称矩阵

Abstract：Orthogonal matrix as a special matrix occupies an important position in the higher mathematics, the particularity of its application in many fields, it has extensive role. This article mainly bases on the definition of an Orthogonal matrix. Through the study of orthogonal Matrix, a series of common properties of orthogonal matrix are obtained.

Keywords：Orthogonal matrix, Matrix, Symmetric matrix

目 录

1 引言 4

2 正交矩阵有关定义和若干性质 4

3 正交矩阵的判定 8

4 正交矩阵的应用 9

5 正交矩阵的教学意义 13

结论 14

参考文献 15

致谢 16

1 引言

正交矩阵是一种特殊的矩阵，它的特殊性使其可以应用在不同的领域内，在矩阵理论中占有重要地位。本篇文章通过研究正交矩阵的定义以及其性质，然后例举正交矩阵的相关应用，希望对以后解决正交矩阵的一些问题起到作用。

本篇文章将阶矩阵的转置表示为；将阶矩阵的逆矩阵表示为；将阶矩阵的伴随矩阵表示为；将阶矩阵的行列式表示为；将阶矩阵的迹表示为；将阶矩阵的秩表示为。

2 正交矩阵有关定义和若干性质

定义2.1^[1] 如果满足，则称矩阵为正交矩阵.

定义2.2^[2] 如果是一个正交矩阵，那么时，把叫作第一类正交矩阵；时，把叫作第二类正交矩阵.

定义2.3^[3] 若满足，则叫作对称矩阵.

定义2.4^[1] 若满足，则叫作反对称矩阵.

定义2.5^[1] 若能表示成

，

则叫作数量矩阵.

定义2.6^[4] 如果一个阶矩阵能够表示为，那么就可以把矩阵叫作对合矩阵.

性质2.1^[5] 若满足，那，都为正交矩阵.

证明 设为正交矩阵，易得，即得证.又因为，可以得.又有，不难得到.即

，

由此得证.

性质2.2^[6] 是正交矩阵，那，也必定是正交矩阵.

证明 令是正交矩阵，可以得到

，

即是正交矩阵.又有

，

易得是正交矩阵.

性质2.3^[7] 有一个阶矩阵为正交矩阵，

(1)若把的随意一行(列)乘以，最后得到的矩阵还是一个正交矩阵.

(2)若互相交换的随意两行(列)，所得的仍然是正交矩阵

证明 (1)设阶正交矩阵

，

可得

，

则有

.

不妨设阶矩阵为矩阵的第行乘以得到的矩阵，则

，

并且

，

所以

，

可证对的任意一行乘以，得到的矩阵仍是正交矩阵.

(2)类似可证把的任意一列乘以以及互相交换随意两行(列)，最后得到的矩阵依旧是一个正交矩阵.

性质2.4 任意的两个阶正交矩阵和，都能够得到.

证明 任取两个阶正交矩阵、，易得，不难得到

，

所以可得.

性质2.5^[8,9] 若，都是正交矩阵

(1)如果，那.

(2)若和的阶数都为奇数，并且有，那么可以得到.

(3)如果有和都是奇数阶，那么可以得到.

证明 设有阶正交矩阵和，容易得到，.从而有

(1)

，

即.

(2)

，

当是奇数时，

，

也就是说.

(3)

，

又为奇数，易得.

推论1^[10] 阶矩阵如果是第二类的正交矩阵，那么的特征值为.

证明 根据性质2.5，可以得到，同时又

，

即为的特征值.

推论2^[7] 如果是第一类正交矩阵，并且为奇数阶，那么有是的特征值.

证明 根据性质2.5，可以得到 ，同时又

，

即是的特征值.

性质2.6^[11] 任意阶正交矩阵的行(列)向量，全体都能构成的一组标准正交基.

证明 记，则可以将写成

，

上式等价于，即的行或列向量全体可以构成的一组标准正交基.

性质2.7^[5] 阶矩阵为正交矩阵，则有1为特征值的模长，还有复特征值一定成对出现，并且有为的行列式值.

证明 设有，共轭转置一下可以得到，然后同时在等式两边右乘，有

，

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