孪生素数猜想研读报告

论文总字数：8019字

摘 要

关键词：素数,素数分布,孪生素数,孪生素数猜想

Abstract：Number theory is a subject which mainly studies the properties of integers, prime numbers are the basic elements of integers, so the essence of integers is the research on the properties of prime numbers. There are many conundrums about prime numbers, among which the twin prime conjecture is one of them. The article will briefly introduce the research progress of the twin prime conjecture.

Keywords：prime number, distribution of prime numbers,twin prime, twin prime conjecture

目录

1 引言 4

2素数与孪生素数猜想 4

3 孪生素数猜想的研究进展 7

3.1提出 7

3.2突破 10

结论 12

参考文献 13

致谢 14

1 引言

素数是在大于1的自然数中只能被 1和它本身整除的数，如 2、3、5、7、11等. 早在两千多年前数学家Euclid在《几何原本》第九篇的命题20中用反证法证明了素数有无穷多个. 每个大于1的整数 可以唯一的表示为

，

其中 为素数， ；整数 .这就是算数基本定理.它可以用来刻画正整数与素数之间的关系.因此素数在数论中有着很重要的地位.与素数相关的著名难题有许多，孪生素数猜想就是其中之一. 若与都是素数，则称素数对（，）为孪生素数.例如3和5, 29和31，59和61，1000007651和1000007653等等. 孪生素数猜想可以描述为：存在无穷多对孪生素数.孪生素数猜想正式由德国著名数学家D.Hilbert于1900年在法国巴黎召开的第二届国际数学家大会的上提出23个问题中的第8个问题中提出.

2 素数与孪生素数猜想

素数如此重要，但是素数的分布看起来似乎没什么规律.单个地看，是看不出素数在自然数中的出现是有没有规律的. 但从总的来看，素数的在自然数中出现是有规律可循的. 若用 表示小于x的素数的个数,下表是1000万为以内的自然数中素数分布及其占比情况:

从上面的表格在可以看出随着数的增大，素数分布越来越稀疏，那么是否能够给出一个估计或表达素数个数的公式呢?

1798年，法国著名数学家A.M.Legendre给出第个素数 的渐近估计式：

, （1）

1849年，Gauss在给Encke的一封信中说：他在1792至1793年间通过考察一千个相邻整数为一段中的素数个数，发现对于大值的“平均分布密度”应是 ，因而提出：

( ), （2）

其中

，

称为对数积分.有时以

来代替 .二者仅差一常数 .易证：对任意实数 ，有

.

所以渐近公式（1）和（2）基本上是一样的.我们把命题

，

或式（2）称为素数定理.^[1]

1859年，Gauss的学生B.Riemann发表了题为《论不超过一个给定值的素数的个数》的论文．在这篇论文里，Riemann把Euler乘积公式作为研究的出发点，把该公式左边的级数记作，这就是现在所说的Riemann函数，一个重要的不同是:他把 看作为一个复变数，他对复变函数

， ，

作了深入的研究工作，证明了很多重要的结果，特别是得到了一个与的零点有关的表示素数个数 的公式. Riemann证明了函数有无穷多个非平凡零点.并且，这无穷多个非平凡零点都落在实部介于0与1之间的带形区域内．但他不能排除零点有落在带形边界上的可能. 实际上，如果函数的零点没有落在带形的边界上，那么Gauss猜想就是正确的.令人遗憾的是B.Riemann没来得及给出证明就去世了，但他提供了研究Gauss猜想的正确方法，即用分析方法去研究数论——这就是解析数论．

1896年，沿着Riemann指出的方向，法国数学家J. Hadamard和比利时数学家Charles Jean de la Vallée-Poussin利用整函数理论几乎同时分别证明了黎曼猜想中的所有非平凡零点都落在实部介于0与1之间的带形区域内，并且没有落在带形边界上,给出了素数定理的证明.1949年，挪威数学家A.Selberg和匈牙利数学家P.Erdös分别给出素数定理的初等证明，并且他们的证明过程没有用到函数.

和素数的分布的情况一样，孪生素数也随着数的增大，孪生素数的分布越来越稀疏，并且孪生素数的个数要比素数的个数少得多.^[2] 若用q(x)表示小于x的孪生素数对的个数,下表是1000万以内的自然数中孪生素数分布及占比情况:

由于孪生素数猜想的高知名度，因此不断有数学家和数学爱好者试图去证明它.然而，经过很多数学家多年的努力，这个问题尚未得到解决.

对于等差数列我们并不陌生，但全部由素数组成的等差数列起初并未引起数学家们的关注，如3、5、7、9. 刚开始数学家们只关注到公差较小的情形.1939 年，荷兰数学家Johannes van dercorput证明了：公差为3 的等差素数数列有无穷多个.

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