浅析不等式在高中数学的应用

论文总字数：4730字

摘 要

关键词：不等式，高中数学，应用

Abstract: We divide the application of inequality in high school into three categories, which are basic property application of inequality., linear programming problem and maximum value problem. Some general problem types that may appear in college entrance examination are introduced with specific solution ideas and step skills. Finally, some practical examples are combined to strengthen understanding and application.

Key words: inequality, high school mathematics, application.

目录

1 前言 5

2 不等式的性质 5

3 不等式的应用 5

3.1 不等式性质的应用 5

3.2 线性规划 7

3.3 最值问题 10

结论 13

参考文献 14

致 谢 15

1 前言

不等式是描述事物不等关系的重要方式. 在高中阶段，解不等式是学习数学的最基础的技能之一. 学生经过长期训练，对于解不等式的技巧早已了然于心. 不过，不等式的性质能与许多重难点知识都有结合，如几何、函数、证明等多个方面，这些问题的解决都离不开不等式的应用^[1]. 此外，基本不等式、柯西不等式、绝对值三角不等式等著名不等式的初步应用也在高中阶段有所涉及.

如何应用不等式来解决问题并没有在高中数学课本中单独列出章节进行介绍，因此，即使在习题中频繁出现，学生也没有将其梳理成完整的知识系统. 本文希望对高中数学中不等式的应用进行研究，提出有效的解题策略，提高学生的解题效率，培养学生的逻辑思维.

2 不等式的性质

七个基本性质：

①若，则；若，则；（对称性）

②若，，则；（传递性）

③若，而为任意实数或式子，则；（加法法则）

④若，，则；若，，则；（乘法法则）

⑤若，，则；（充分不必要条件）

⑥若，，则；（正值可乘方）

⑦若，，则；若,，则.（正值可开方）

3 不等式的应用

3.1 不等式性质的应用

证明题是高中数学难度较大的题型，对学生的逻辑思维、推理等能力提出了极高的要求. 根据不等式的形式可以选择不同的方正进行证明. 其中，比较法一般用来证明简单不等式，利用不等式的性质将题目转换为差或商的形式进行比较^[2]. 放缩法的使用难度较高，技巧性极强，可以处理较为复杂的不等式证明^[3].

例1 若 ，，，求，，的大小关系.

解 ，即，

，即.

故答案为：

例2 设，，且，试比较与的大小.

解 ，

当时，，，则，即；

当时，，，则，即.

综上所得：当，，且时，都有.

例3 已知，，，，求证：.

证 将条件中的原方程化简可得，根据传递性可以得到，又，故.由得，即，故，得证.

求参数取值范围问题是高考中的热门考点. 应用不等式的性质也可以解决简单的参数问题^[4].

例4 已知，且，，求的取值范围.

解 ，有，，，

设，则有，

得，故，

由，，得，，

故，即.

答 的取值范围是.

分析：本题不能单独求解和的范围，求解步骤为：

①将所求代数式用已知代数式，线性表出，即令（，为常数）；

②求出，的范围；

③一次性使用基本性质求出的范围.

3.2 线性规划

线性规划是运筹学的一个分支，能帮助企业优化资源配置^[5].在高中数学中，线性规划是一类特殊问题，解题方法固定，主要考察由不等式（组）构成的目标区域的性质^[6].

例5 在坐标系中，已知：平面区域，求平面区域 的面积.

解题引导 ①令，，得，；②利用，所满足的条件得出，满足的条件；③画出相应的平面区域，求得面积

解 对于集合，令，，则，，由于，所以有，即，因此平面区域的面积即为不等式组所对应的平面区域的面积，画出图形可知该平面区域的面积为.

总结：本题求解目标区域的面积，应先画出平面区域，判断目标区域的形状，确定面积公式，求出所需线段长度,最后利用面积公式进行计算.

例6 若，满足约束条件，

（1）求的最值；

（2）若在点处取得最小值，求的区间.

解：

（1）先将目标函数变形为直线的斜截式得，作出目标区域，寻找直线截距的最值，平移得在处最小，在处最大.所以，.

（2）由图可知，解得，故所求的区间为.

例7 某超市采购了两种水果，第一种有，第二种有，现计划将这两种水果按一定规格包装成甲、乙两种水果礼盒销售，每种礼盒的包装规格及利润如下表所示，假设所有礼盒都能销售完，该超市应该包装甲、乙水果礼盒各多少盒，才能使得利润最高？

解 设包装甲水果礼盒盒，包装乙水果礼盒盒，总利润为元，那么，，

如图，作出目标区域，作，把平移至过时，有最大值.

答 应包装甲水果礼盒350盒，乙水果礼盒100盒.

总结：求目标函数最优解可以分为以下四个步骤

①分清目标函数中的变量与参数，找出目标函数对应的动直线；

②根据题目画出可行域和目标函数；

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