数学中的若干变形技巧

论文总字数：7991字

摘 要

变形的使用是解决数学问题最重要的方法，也是解答数学难题的关键．在数学的学习过程中，通过对变形技巧的使用，可以减少问题的复杂性，促进智力发展．本文旨在对数学中变形技巧进行研究，主要是以具体例题分析初等数学和高等数学中变形技巧的运用，熟练掌握好并灵活应用这些解题方法，可以快速的找到解题的方向，减少解题的盲目性，提高解题效率．

关键词：变形技巧，三角函数，代数，数列

Abstract：The use of deformation is the most important method to solve mathematical problems, and it is also the key to solve difficult mathematical problems. In the process of mathematics learning, the complexity of the problem can be reduced by using deformation techniques. To promote the development of intelligence. The purpose of this paper is to study the deformation skills in elementary mathematics, mainly to analyze the application of deformation skills in elementary mathematics and higher mathematics with specific examples, and to master and flexibly apply these problem solving methods. We can quickly find the direction of problem solving, reduce the blindness of problem solving, and improve the efficiency of problem solving.

Keywords: deformation techniques, trigonometric functions, algebra, series

目　录

1　引言 …………………………………………………………………………4

2　数学变形的基本概念 ………………………………………………………4

3　数学中变形技巧 ……………………………………………………………4

3.1　特殊数的变形技巧 ………………………………………………………5

3.2　三角函数中的等量变形技巧 ……………………………………………6

3.3　不等式中的变形技巧 ……………………………………………………8

3.4　一元二次方程中的变形技巧……………………………………………10

3.5　代数式中的变形技巧……………………………………………………11

3.6　向量中的变形技巧………………………………………………………12

3.7　高等数学中的变形技巧…………………………………………………13

结论 ……………………………………………………………………………15

参考文献 ………………………………………………………………………16

致谢 ……………………………………………………………………………17

1　引言

数学的发展对人类社会的生活与发展中起到了不可或缺的作用．在现在的数学学习中特别注重对数学能力的培养．在数学的学习过程中，要拥有优秀的数学思维能力，优秀的逻辑思维能力和计算能力才能学好数学．

在数学学习中，有抽象的数学的知识点，有松散的知识结构，在加上本身就比较复杂的数学题目，很可能形成许多学习中的难点．因此在掌握基础数学知识的情况上，还得具备解题技巧．在近些年的数学考察中，重点考察的是解题思路与解题方法，而有一些题目又具有很强的技巧性，如果答题者不懂变通，不能灵活的选择解题方法来解决题目，那将耗费大量的时间．变形就是其中的一种解题技巧，通过变形，可以将一些题目化繁到简，使题目的脉络一目了然，从而解答问题．

2　数学变形的基本概念

数学变形就是将复杂、难解的问题转化为简单、易解的问题，即为了达到某种需求或目的而使用的方法，数学变形为化归、转化、联想提供了基础^［1］，属于一种技能型的方法．数学变形的运用灵活多变，但也有一定的技巧和方法，需要在数学学习中通过反复练习才能掌握它，再通过不断的反思总结，才能灵活使用．　

一般在数学解题过程中使用到变形技巧的方法有三种：逻辑方法，一般方法，特殊方法^［2］．其中，逻辑方法包括分析法、反证法等，一般分析方法包括消元法、图象法、放缩法等．特殊方法包括配方法、公式法以及换元法等，这些方法对于解决一些特定的数学问题起到很关键的作用．所以针对不同类型的题目通过灵活的变形技巧使用，可以将题目化繁为简，大大提高做题的效率与准确性．

在数学变形过程中，需要注意代数式的恒等变形(如三角函数问题求解的变形)，而在方程和不等式的求解中要做到同解变形．

3　数学中变形技巧

变形技巧是数学解题过程中基础而又常见的方法，一个公式，一个定义都可以灵活转化，它的表达形式是十分丰富的．比如说，数学公式是解决问题的基础，在具体题目中可以通过对公式的变形已达到解题目的，在初中数学中所学的勾股定理，书中对其公式的定义为，但在解题中可以表述成，来进行解题．而数1等可以表示为，，等．

可见变形是一个内涵丰富的概念，在数学解题中，经常需要通过恒等变换去转换一个特定的表达式来解决诸如证明、求值和简化之类的问题，但同样得需要注意的是对公式进行变形一定要结合题目，做到有的放矢，变形并不是简单的数字变化．所以在数学解题的过程中，灵活的运用变换技巧也是一门艺术．

3.1　特殊数的变形技巧

（1） “0”的变形

　　恩格斯曾说过“0”不仅仅是一个非常确定的数，而且它本身比其他一切所限定的数都更重要，事实上，“0”比其它一切数都具有更丰富的意义^［3］．在数学中，“0”拥有许多性质是十分特殊的，比如任何数加上或者减去0都等于原本数它本身．任何数乘以0都等于0．如果在解题过程中应用“0”的变形，会达到事半功倍的成效．

例1　已知，证明．

分析　观察题目，可以发现可以变形为，即通过构造“0”的方式给式子加了一个，再通过不等式性质进行解答．

证明　由题得　，，，

＝，

又因为，所以．

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