欧拉公式的证明和应用

论文总字数：6038字

摘 要

：欧拉公式是连接三角函数与指数函数的重要桥梁，在解决许多复杂的数学问题上都有着很大的起作用．本文主要围绕欧拉公式的证明和应用两个方面，分别从复函数定义法、积分换元法、麦克劳林级数展开式代换法等多种方法证明欧拉公式，并且应用欧拉公式来解决导数、积分、级数等多方面的问题．

关键词：欧拉公式，证明，应用

Abstract: Euler"s formula is an important bridge between trigonometric function and exponential function. This paper mainly focuses on the proof and application of Euler"s formula, respectively from the definition of complex function method, integral substitution method. Maclaurin series expansion substitution method and other methods to prove Euler"s formula, and use Euler"s formula to solve the derivative, integral, series and other problems.

Keywords: Euler"s formula, prove, apply

目　　录

1　引言……………………………………………………………………………4

2 欧拉公式的几种证明方法……………………………………………………4

3　欧拉公式的应用………………………………………………………………7

3.1导出三角公式…………………………………………………………………7

3.2证明棣莫弗公式………………………………………………………………9

3.3解决三角问题………………………………………………………………10

3.4求高阶导数…………………………………………………………………11

3.5求积分………………………………………………………………………12

3.6确定级数问题………………………………………………………………14

结论………………………………………………………………………………17

参考文献…………………………………………………………………………18

致谢………………………………………………………………………………19

1　引言

16世纪，科兹发表如下公式^[1]

　 　　　　　　　（1）

1714年，欧拉发现由于和都是一个微分方程的解，故它们是相等的．因此在1743年他发表这个结果，即

　　　　， 　　　　　（2）

且式（1）可由式（2）导出，并首次用来表示，从1801年开始沿用至今．

由和上述（1）、（2）两式得欧拉公式．

欧拉公式是串联指数函数和三角函数的桥梁，通过两个函数的相互转换，可以解决复杂的数学问题．本文利用定义法、分离法、积分法等方法证明欧拉公式，讨论欧拉公式在导数、积分、三角问题、级数等方面的应用．

2　欧拉公式的几种证明方法

欧拉公式有多种证明方法，这里给出欧拉公式证明的复指数函数定义法、复函数变量分离积分法、积分换元法和麦克劳林展开式代换法等方法．

证法一　复指数函数定义法

从复指数定义的角度得到，最后令，即可得^[2]．

证明　设复数，那么复指数函数，所以当复数的实部的时候，就可以得到欧拉公式．

证法二　复函数变量分离积分法

从复数的角度两边对进行求导并通过一些变换得到，移项可得，两边积分即得．

证明　设有复数，两边对进行求导，得到

．

通过移项得到，对两边积分可得，即．

取得到，因此有，即有．

证法三　积分换元法

取得常用的变上限积分，通过一定的计算得到，然后再从复数的角度，通过变换被积函数分母中的得到，再令，得到，两边乘上，用再用作为指数底数即可得．

证明　对于变上限积分，通过对上述积分的计算有

．

又因为

．

再令，由此得，故有

．

即　　　　　　　　　　　　．

令，得到，故可得到

．

证法四　麦克劳林展开式代换法

从的麦克劳林级数展开式着手，用代替，然后化简所得式子，分清实部和虚部即可得^[3-4]．

证明　由指数函数的麦克劳林展开式，

把展开式各项中的代换成，上式变为

，

其中已知

．

即　　　　　　　　　　　　　　．

证法五　复函数构造法

证明　构造函数，其中为虚数．

对进行求导有

．

通过拉格朗日中值定理的推论可知，若在区间I上可导且的导数恒等于，则在区间I上为常量函数，故（为常数），又因为，故．

则有

．

证法六　验证欧拉公式的成立性

通过所学过的的麦克劳林级数展开式直接带入欧拉公式来证明欧拉公式的成立性，这个证明方法主要采用分析法．

证明　要证明欧拉公式的成立性，不妨由各部分麦克劳林展开式得，

由于，所以代入上式有

．

3　欧拉公式的应用

3.1　导出三角公式

1）和差化积公式

通过欧拉公式的应用使得指数函数与三角函数挂钩，借助欧拉公式中的复数的实部和虚部的加减关系，故可得到^[5]

．

．

．

．

2）积化和差公式

通过式（2）把下述中的三角函数用指数函数来代替，再用指数函数和三角函数的转化关系得到

．

．

同理可得

．

3）倍角公式

由欧拉公式和二项式定理可有

　 　 （3）

另一方面有

　　 （4）

通过比较式（3）和式（4）的实部和虚部可得到

　　 　　 　　　　 （5）

　　　 　　　　　　（6）

同理可得

　　　 　（7）

　 　　 　　　　（8）

对于式（5）和式（6），令，可得二倍角公式

，．

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