数列通项公式的求法

论文总字数：6644字

摘 要

关键词：数列，通项公式，方法

Abstract: The sequence theory is common and important content of mathematics, it has a wide range of applications. It is high important to understand and grasp the principle of sequence theory. Closely related to the sequences is the sequences of general term formual, this article through the analysis of sequences, the corresponding general term formula is summarized.

Keywords: sequences, the formula of general term, methods

目　　录

1引言…………………………………………………………………………4

2数列通项公式的基本求法………………………………………………4

3 特殊数列通项公式的求解…………………………………………………11

3.1斐波那契数列通项公式的求解…………………………………………11

3.2非线性递推数列通项公式的求解………………………………………12

结论……………………………………………………………………………14

参考文献…………………………………………………………………………15

致谢………………………………………………………………………………16

1　引言

数学是自然科学，技术科学等科学的基础，渗透到生活中的各个方面．数列是数学学习过程中一个难点，但也是重点．数列极其丰富的现实背景，它丰富的内容，广泛的应用和多样的思想方法也是吸引无数科学家研究它的原因．不同特征的数列通项公式有不同的求法，而这些方法也可以作为学习高等数学的一种工具，从而提高思维的发散性和解决实际问题的能力．数列通项公式的求法为数列领域的基本要求，本文先对不同类型的数列进行观察、分析，再考虑不同方法的使用．

2　数列通项公式的基本求法

１）公式法

对于数列，当并且为常数时，那么就称为等差数列，就是的公差，则这个数列的通项公式．

对于数列，当并且为非零常数时，称为等比数列，就是的公比，这时候这个数列的通项公式为．

在具有明显等差、等比数列特征的题目中通常采取公式法求出数列的通项公式^[1]．

例1　是等比数列，，，．

（1）求出数列的通项公式；

（2）为等差数列，，是的前项的和．已经知道，求的前项和．

解　（1）令为的公比，根据题目的条件：，，，解出，，因此．

（2）根据题意知：．又

，

所以.令，则.因此

．

又

，

两式相减得，所以．

2）累乘法

已知且，则，即．

若数列通项公式的递推关系为分数形式，且后一项比上前一项可以约去一部分，则此时可以选择用累乘法^[２-３]．

例2　在中，，前项相加的和．（1）解出；（2）求．

解　（1）根据，可以知道，进而可以知道．同时，所以

，

于是　　　　　　　　　　　 ．

（2）知道．时，，整理得

，

因此

，

化简得，即的通项公式为．

3）累加法

若已知且，则

，

故

．

当数列中后一项减去前一项，相加时可以约去一部分，此时可以优先考虑采取累加法求数列的通项公式．

例3　设数列满足，且，求数列的通项公式．

解　由已知得，

．

则有．又，所以

即．当时，符合上面的式子，于是．

4）函数法

数列作为一种特殊的函数，研究数列的最大值或最小值时，可以用的单调性来研究的单调性，即单调，单调．但单调，不等同于在上单调^［４］．

例4　知道数列的表达式，（其中）,若第项是数列中的最小项，求的值．

解　令，由，得．

设，则．

易知，并且时，，时，．于是

在上单调递减，在上单调递增．故，就是的时候，的值最小，也就是

．

5）观察归纳法

归纳法是由特殊到一般的方法，由数列的前几项找出其共同规律，横看“各项之间的关系”，纵看“项的各部分与项数的关系”，从而确定并验证数列的通项公式．

如果题目中没有关于的关系式，只给出数列中的几项，此时可以先观察所给数字的特征，再通过观察归纳法求解出通项公式．

例5　已知数列的前几项，写出相应数列的通项公式：

（1）；

（2）；

（3）…．

解　（1）每一项都加，得到，通项公式是，所以原数列的通项公式是．

（2）每一项都乘，可以得到，每一项再加，此时可以得到新的数列，通项公式是，由此可得原数列的一个通项公式为

．

（3）观察所给数列的各项，发现有如下特点：符号负正相间；整数部分的绝对值依次为；分数部分的字母为从开始的正整数的平方；分数部分的分子构成首项为的正整数数列.综合这些特点可得此数列的一个通项公式为

，

剩余内容已隐藏，请支付后下载全文，论文总字数：6644字