浅析矩阵的对角化问题

论文总字数：6943字

摘 要

关键词：对角矩阵，矩阵对角化，特征值，特征向量，正交化

Abstract: The related theories of matrix theory have a higher position in advanced algebra, and diagonalization of matrix is an important concept of matrix theory. This paper starts with the equivalent condition of matrix similarity, and obtains the definition of diagonalization of matrix. It focuses on the necessary and sufficient conditions for diagonalization of matrix, and gives some judgment conditions of matrix diagonalization and several applications of matrix diagonalization.

Keywords: diagonal matrix, matrix diagonalization, eigenvalue, eigenvector, orthogonalization

目 录

1 引言 ………………………………………………………………………… 4

2 预备知识 …………………………………………………………………… 4

3 矩阵的对角化 ……………………………………………………………… 5

3.1 矩阵的相似 ……………………………………………………………… 5

3.2 矩阵对角化及判定 …………………………………………………… 5

4 矩阵对角化的方法 ………………………………………………………… 8

4.1 利用特征值与特征向量 ………………………………………………… 8

4.2 利用矩阵的初等变换 …………………………………………………… 8

4.3 利用矩阵的乘法运算 …………………………………………………… 8

5 部分特殊矩阵的对角化 ………………………………………………… 11

5.1 实对称矩阵 …………………………………………………………… 11

5.2 幂等矩阵 ……………………………………………………………… 12

5.3 对合矩阵 ……………………………………………………………… 12

6 矩阵对角化的应用 ………………………………………………………… 13

6.1 求方阵的高次幂 ………………………………………………………… 13

6.2 求行列式的值 …………………………………………………………… 14

6.3 求具有线性递推关系（组）的数列的极限 ……………………………… 14

6.4 求二次型的标准型 ……………………………………………………… 16

结论 …………………………………………………………………………… 18

参考文献 ……………………………………………………………………… 19

致谢 …………………………………………………………………………… 20

1　引言

矩阵及其相关理论在高等代数中有着重要地位，诸多领域均有涉及，多方面研究都需要矩阵及其计算的辅助，因此矩阵论值得深入学习与探索．而矩阵对角化是矩阵理论中的一个重要概念，根据矩阵相似这个等价关系可以对矩阵进行分类，利用特征值与特征向量则可以对矩阵进行对角化处理．本文重点讨论与对角阵相似的矩阵的对角化问题，研究矩阵可对角化的条件、性质，给出判定方法以及矩阵对角化的若干应用．

2　预备知识

定义1　由个数组成的行列的表

称为一个矩阵，记作．

当全为实数时，称为实矩阵．当全为零时，称为零矩阵．行列数相等且为的矩阵称为阶矩阵．

定义2　形如

的矩阵称为对角矩阵，记作．

当时，称为单位矩阵，用符号表示．

定义3　设矩阵，则称为的转置，记作．矩阵转置后行列数发生对换．当的转置等于其本身时，称为对称矩阵．

定义4　若存在数与维列向量使方阵有等式成立，则称为的一个特征值，为关于的一个特征向量．

定义5　行列式称为方阵的特征多项式，用符号表示．

定义6　已知一组向量组 ，若存在一组不全为零的数 ，使得，则称该向量组是线性相关的．若只有当全为零时等式方成立，则称该向量组是线性无关的．

定义7　设为方阵，若存在方阵使得，则称是可逆的，为的逆矩阵，用符号表示．

定义8　设维实向量组，，称实数

为向量的内积，记作．若，则称与正交．

定义9　设是实向量，称

为向量的长度，记作．

当时，称为单位向量．若，则是单位向量，即．由一个非零向量求单位向量的过程就叫做向量单位化．

定义10　设为阶实矩阵，若的转置与的乘积为，则称为正交矩阵．

3　矩阵的对角化

利用矩阵相似这一等价关系对矩阵进行分类，讨论矩阵可对角化的判定方法．

3.1　矩阵的相似

定义11　若存在方阵（可逆）使得方阵有等式成立，便可称与相似，用符号表示 ^[1]．

定理1　如果方阵，那么有相同的特征值．

证明　若，则存在可逆矩阵，使得，故

．

显然，与有相同的特征值．

反之，定理1的逆命题并不成立．如矩阵与，显然，与的特征值都是1，但是并不相似．

3.2　矩阵对角化及判定

定义12　若存在对角矩阵与方阵相似，即存在方阵（可逆）使得为对角矩阵，则称可对角化 ^[2]．

定理2　阶矩阵可对角化的充要条件为有个线性无关的特征向量 ^[3]．

证明　设与相似的对角阵，则存在可逆矩阵使得，即．将按列分块，，有．显然，为的特征向量．又因可逆，线性无关，即有个线性无关的特征向量．

反之，若的个特征向量线性无关，设其相对应的特征值为，则有．令，显然，可逆，故而

．

再令

，

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