Stieltjes积分的若干性质和应用

论文总字数：6069字

摘 要

本文论述了积分的产生和发展，解释了积分的定义和许多性质。在众多微分学中，积分判别法、分部积分法、积分第二中值定理及判别法等形式类似的内容的混淆怀疑进行了处理判断。本文也阐明了积分与积分的关系还有集值函数积分的相关性质，这些对积分的进一步研究探索起到了很关键的作用。

关键词：积分、分部积分法、判别法、判别法、积分第二中值定理、集值函数积分

Abstract:This paper discusses the generation and development of Stieltjes integral, and explains the definition and many properties of Stieltje integral. In many differential calculus, the obfuscations of similar forms such as Stieltjes integral Abel criterion, integration by parts method, second mean value theorem of integration and Dirichlet criterion are treated and judged. In this paper, the relationship between Stieltjes integral and Riemann integral and the related properties of set valued function riemann-stieltjes integral are also clarified, which play a key role in the further research and exploration of Stieltjes integral.

Keywords:Stieltjes integration, integration by parts, Abel test, Dirichlet test, second mean value theorem of integration, riemann-stieltjes integration of set-valued function.

目录

1 前言 5

1.1 Stieltjes积分的建立 5

1.2 Stieltjes积分的发展 6

2 Stieltjes积分的定义 7

3 Stieltjes积分在微积分教学中的应用 7

3.1 Stieltjes积分几何意义: 7

3.2 分部积分法 8

3.3 广义积分收敛性的Abel判别法和Dirichlet判别法 8

3.4 Dirichlet判别法: 9

3.5积分第二中值定理 9

4 集值函数Riemann-Stieltjes积分的相关性质 10

4.1 集值函数Riemann-Stieltjes积分的定义 10

4.2 三个存在性定理 10

结论 12

参考文献 13

致谢 14

1前言

在1884年，斯蒂尔杰斯在对高斯中的某积分公式深入研究计算时，他惊奇地发现了一种关系，当连积分和定积分放在一起时，便会产生不断的联系。十年后，在他的不懈努力下，他终于查明了这一关系，并且一直研究他们的的一般性:他把积分的自然连分数问题和力学中的瞬间问题相互联系起来并且深入研究，在最后他建立了一种新的积分———-积分(我们简称它为-积分),这个新的积分对-积分的影响非常大，并且完成了的第一次积分推广。在1894年,著名的匈牙利数学家柯尼克在不经意的研究中把S积分推广开来，这也对研究探索积分第二中值定理起到了很多的作用。在1904年时,另外一位著名的匈牙利数学家里斯在积分的研究中偶然得出了有限范围内连续函数空间中线性泛函的一般表达式。于20世纪中期,这类积分被许多数学家推广而且重点运用，他们发现一个重点：-积分与许多数学学习研究的分支都有不间断的联系,对许多理论和实际问题都十分有效。斯蒂尔杰斯引入一种新的积分--积分为表示一种解析函数序列的极限,这个一般上测度的积分开始了。积分和积分之间的区别并不大，它们反映了两个互相相对的函数的积分。积分的产生和发展为积分理论的发展提供了必要条件，也具有很强的实践力度。

1.1 积分的建立

斯蒂尔杰斯在数学史上的取得了很高的地位，其中一大部分原因是《继续分数的研究》这篇著名的论文。本文首次将连续分数作为复杂解析函数理论的一部分进行一般处理，是连续分数分析理论的开端，导致希尔伯特空间理论沿着研究方向发展。本文中的斯蒂尔杰斯也研究了系列收敛问题，并且不连续函数和发散序列的定积分和发散序列之间的关系对其具有重要意义。我们在这里简单介绍一下新的重点，同样是直接的相关的容量，斯蒂尔杰斯研究形如

(1)

的连续的分式,正常情况下,在这里是复数。假设是n阶渐近分式,而且是连续分式(4)的，那么它就证明了一点:当级数发散时，那，当级数收敛时，那么这里的和是两个不一样的函数,所以这一个渐近分式其实是摆动的。所以那时的数学家在研究连续分式时都能够懂得积分（2）与连续分式

（3）

之间的种种关系,在这里的线性函数是,而这里的级数表达式中的系数:时是积分的按的降幂展开的而且有一个公式表示。尤其在和之间的解是实解，这里和是互异的,并且和的幂相比前者比较低。我们通过了解下列等式:，在这阶渐近分式中，在很多的推演运算的基础上,斯蒂尔杰斯得出并证明了结论，把连分式(1)展成级数（4）这件事情是成立的。

1.2 积分的发展

斯蒂尔杰斯紧接着说明,如果在质量分布的联想上,我们应该明白在间断点处积累着有限质量，对于具有连续分布的其它点的质量。所以,区间上含有质量或（若设）。接下来则是质量分布的研究.设，，在和之间插入个点:，取，满足作和式根据定义,即可得到矩量。反之,研究上述和式,它具有用符号表示的极限。

斯蒂尔杰斯在为任意连续函数和为任意增函数的假设下,得到了新积分的存在性定理(与-积分的存在性相似),此外,他还证明了新积分的分部积分公式：并且提出了分布函数在新积分的帮助下,可以在给定的瞬间问题中求出连分式的积分形式的解析表达式。斯蒂尔杰斯还解决了一个反问题,即已知一增函数，，)就得到类似于(1)的连分式,且具有性质。

2 积分的定义

设有界函数与在区间上。

(i)在区间上任意划分，从而区间被分成个小区间；

(ii)在每个区间中任意取一点,把他们相乘得；

(iii)作和，这个和就叫做积分的积分和；

(iv)令,不论其中的分法和的取法，在时，总是趋向于一个相同的极限,那么我们称在上关于可积,而且称是在上关于的积分,记作。

3 积分在微积分教学中的应用

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