李雅普诺夫函数的构造以及应用研究

论文总字数：8945字

摘 要

本文研究了Lyapunov函数的构造形式，其核心是构造李雅普诺夫函数，即函数. 本文的目的是研究不同李雅普诺夫函数与系统的零解稳定性之间的关系，用这种方法构造出的函数可以直接判定微分方程的稳定性，在生物学、经济学、控制论等区域中有大量的应用.但如何构造出合适的函数是一个难题. 本文结合大量的理论与实例，分析和总结了几种完成度较高的李雅普诺夫函数的构造形式和方法，以及其应用方式.

关键词 李雅普诺夫函数，稳定性，构造，微分方程组

Abstract: Lyapunov stability theory is used to analyze the stability of the system 0 solution, and the construction method and form of the function are introduced, and examples are provided in this paper. The most commonly used in the study of the stability of the solution of differential equations is the Lyapunov second method (direct method）, which uses this method to study the stability of the solution of the system. That is, the function V. The purpose of this paper is to analyze and summarize the relevant theories of Lyapunov"s second method of system stability, and how to judge the stability of the system with the help of Lyapunov function. Lyapunov"s second method can directly determine the stability of differential equations, which is widely used, but how to construct the Lyapunov function V under certain conditions, Is a subject to be solved by the stability theory of differential equations. In this paper, the tectonic forms and methods of several practical Lyapunov function V are studied by analyzing and summaring many examples.

Key words：Lyapunov function, Stability,Structure, Differential equations

目 录

1. 前言……………………………………………………………………………4
2. 李雅普诺夫函数的由来………………………………………………………4
3. 李雅普诺夫函数及相关定理…………………………………………………5
4. 李雅谱诺夫第二法……………………………………………………………6
5. 判定微分方程组稳定性中的V函数的构造及规则…………………………7
6. 李雅普诺夫函数的应用举例………………………………………………12

结论………………………………………………………………………………17

参考文献…………………………………………………………………………18

致谢………………………………………………………………………………19

前言

求解微分方程一直是现代分析中最重要的内容之一.但是大多常微分方程目前很难求出解. 1881年，法国数学家庞加莱关于定性理论的文章的发表大大推进了学术界对微分方程的研究.庞加莱的研究更注重于研究函数本身而不是将其化简求解，开创了几何学思路研究微分方程的先河.俄罗斯数学家李雅普诺夫，在庞加莱的研究的基础上建立了常微分方程的稳定性理论，即运动稳定性理论.李雅普诺夫在庞加莱开拓的领域更加深入，仔细研究了那些在理论及应用上均具有普遍意义的稳定性问题,使稳定性理论真正确立起来，并获得了系统的发展..

李雅普诺夫函数在实际问题中起着重要作用，例如，李雅普诺夫不等式的结论常用于微分方程特征值的研究.众所周知，近10年来，分数阶微分系统一直备受关注.当然，作为一种非常重要的研究工具，分数阶微分系统的李雅普诺夫不等式越来越受到重视，大量具有不同初始条件的微分系统的李雅普诺夫不等式正在被研究.本文介绍了李雅普诺夫函数的起源，总结了各种构造方法，以及李雅普诺夫函数的实际应用.

李雅普诺夫函数的由来

近年来微分方程的研究飞速发展，稳定性理论是微分方程的一个分支，也在不断得到学者的研究. 此理论在研究微分方程的初始条件甚至当右端函数发生变化时，在时间增加时的变化，这也是动力系统中亟需解决的问题.Lyapunov Function以数学家李雅普诺夫(Алекса́ндрМиха́йловичЛяпуно́в,1857-1918）的名字命名，他1892年的论文《运动稳定性的一般问题》非常经典，定义了已知运动状态的稳定性.在其中给出了两套分析方法，称为李雅谱诺夫的第一方法和李雅谱诺夫第二方法，李雅普诺夫考虑到非线性系统稳定性理论的修正，修改了基于以一个稳定点线性化系统为基础的线性稳定性理论.

李雅谱诺夫的第一方法是解出系统的微分方程，就可以判断其稳定性，但是只适用于运动状态为已知的系统，即必须在线性定常、线性时变和非线性函数可线性化的情况下，且其判断稳定的区域非常狭窄，只能判断解的附近很小的部分. 李雅谱诺夫第二方法却不需要求解系统的微分方程，只要知道运动的微分方程即可，通过构造函数及其导数的符号特征来判断系统的稳定性，完全是定性的，此函数被称为李雅谱诺夫函数.在判断非线性系统零解的稳定性时，李雅普诺夫第二方法最常用的方法，但局限的是迄今为止也只能继续使用前人的经验得出来的特殊情况下的构造函数，一个普适的构造李雅普诺夫函数的方法仍未被研究出.这些经验需要大量的总结归纳才可得出，不是随随便便便可构造的.本文通过几个实例分析，研究并归纳出几种实用性强的李雅普诺夫函数的构造形式和方法.

李雅普诺夫函数及相关定理

我们首先介绍李雅普诺夫函数的概念，以及李雅普诺夫判断稳定性态的几个定理.为了便于理解，我们先只考虑自治系统.

设函数 在和 上连续，且满足lipschitz条件.下面介绍基本定理.

剩余内容已隐藏，请支付后下载全文，论文总字数：8945字