关于二重积分计算方法的探讨与研究

论文总字数：6607字

摘 要

关键词：二重积分，计算方法，变量替换，对称性，中值定理，格林公式

Abstract: Double integral is a significant part of mathematical analysis.It is used in many ways. In this paper, the methods of calculating double integrals by using variable substitution, symmetry theorem, mean value theorem, Green"s formula, centroid coordinates and geometric meaning are discussed.

Keywords: double integral, calculation method, variable substitution, symmetry, mean value theorem, Green"s formula

目 录

1 引言.....................................................................................................4

2 选择恰当的坐标系计算二重积分...........................................................4

2.1 利用直角坐标计算二重积分..............................................................4

2.2 利用变量替换计算二重积分..............................................................6

3 利用对称性计算二重积分.....................................................................8

3.1 积分区域关于坐标轴对称..................................................................8

3.2 积分区域关于原点对称.....................................................................11

3.3 积分区域关于直线对称............................................................13

4 利用中值定理计算二重积分.................................................................15

5 利用格林公式计算二重积分.................................................................15

6 利用几何意义计算二重积分.................................................................16

7 利用形心计算二重积分........................................................................16

结论.........................................................................................................18

参考文献..................................................................................................19

致谢.........................................................................................................20

1 引言

二重积分是数学分析的重要内容，在求解平面图形的面积、曲面所围立体的体积、转动惯量、质心等方面都有着重要的作用. 由于实际问题中所遇到的平面、立体图形多种多样，所以相应的二重积分的计算方法也各不相同.

若要利用定义计算二重积分，就是要计算. 因此，对于大部分的二重积分而言，若利用定义直接计算会显得很复杂，甚至无法计算. 所以，我们需要寻找更为简便的方法^[1]. 本文主要讨论计算二重积分的各种方法.

2 选择恰当的坐标系计算二重积分

二重积分形式多样，针对其被积函数与积分区域的不同特点，需要选择不同的坐标系计算.

2.1 利用直角坐标计算二重积分

设区域可表示为型区域，，其中在区间上连续，则有

若区域可表示为型区域，，其中,在区间上连续，则有

.

若既不是型区域，也不是型区域，我们可以对其进行分块，将表示为若干型区域或型区域的并.

例1^[2] 求，由与围成.

图 1

分析 既可看成-型区域，又可看成-型区域，于是有下面两种解法：

解法一 将看成-型区域，则有

.

解法二 将看成-型区域，则有

.

例2^[3] 计算，其中是由及所围成的区域.

图 2

分析 区域如图2所示，若将它看作型区域，则为：，可先对后对积分，则有

.

由于的原函数不能用初等函数表示，故上述积分很难进行，因此不宜采用上述积分次序. 也可以视为型区域，即，从而可将二重积分化为先对后对的二次积分.

.

通过此例可以发现，积分次序的选择有时也会直接影响积分的难易程度，选择积分次序时除了考虑积分区域的形状外，被积函数的特点也不容忽视. 一般来说，积分次序选择的原则是：

1. 对积分区域分割所成的子域越少越好，最好是不需要分割；
2. 要使第一次积分可积并且容易计算，并能使第二次积分变得简单.

2.2 利用变量替换计算二重积分

如果遇到不怎么常规的积分区域，或者比较复杂的被积函数，用直角坐标做起来又比较困难，可以进行适当的变量替换，转化为比较简单的形式.

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