研究生考题中一致收敛的应用问题

论文总字数：13993字

摘 要

关键词：一致收敛性,判别法,函数项级数,函数列

Abstract：By sorting out and analyzing the problems of uniform convergence in the postgraduate examination, this paper sorts out the Conditions of Choosing Uniform Convergence Discriminances,and summarizes the solutions and ideas of common questions and special questions, and shows the practicality of the conclusion through the form of sample questions.

Keywords：Uniform Convergence,Discriminance,Sequence of Functions,Series of Functional

目 录

1 前言…………………………………………………………………………………… 4

2 研究生考试中一致收敛性问题概述…………………………………………… 4

3 对于一致收敛性判别方法选择的条件………………………………………… 4

3.1 用一致收敛性定义的条件……………………………………………………… 5

3.2 用柯西准则的条件……………………………………………………………… 6

3.3 用魏尔斯特拉斯判别法的条件……………………………………………… 7

3.4 用阿贝尔判别法的条件………………………………………………………… 8

3.5 用狄利克雷判别法的条件……………………………………………………… 9

3.6 用迪尼定理的条件……………………………………………………………… 10

4 常见的一致收敛性题目的分类………………………………………………… 11

4.1 对一致收敛性证明的考察 …………………………………………………… 11

4.1.1 函数列在区间内一致收敛于………………………………………… 11

4.1.2 函数列在区间内一致收敛于…………………………………………… 13

4.1.3 函数列在区间内一致收敛………………………………………………… 13

4.2 对一致收敛性性质的考察 …………………………………………………… 15

4.2.1 有提示的试用一致收敛性的性质……………………………………… 15

4.2.2 没有提示的试用一致收敛性的性质…………………………………… 16

5 特殊的一致收敛性题目………………………………………………………… 17

5.1 积分变上限函数列的一致收敛性性……………………………………… 17

5.2 莱布尼兹型函数项级数一致收敛性判别法……………………………… 17

结论 ……………………………………………………………………………………… 19

参考文献……………………………………………………………………………………21

致谢……………………………………………………………………………………23

1 前言

函数列的一致收敛性是函数列重要的性质之一,由于一致收敛的函数列所对应的极限函数有着非常好的解析性质,这些性质可以帮助我们去了解原本的函数列,所以判断函数列的一致收敛就显得尤为重要.在之前对于一致收敛性的研究中,有对于已知一致收敛性判别法^[1][2][3]与性质^[4][5]推广的研究、也有对于一些特殊且具有代表性的函数一致收敛性^[6][7][8]的研究、还有对于局部的一致收敛性^[5][10][11]的研究,这些研究对于探讨函数列或函数项级数一致收敛性有着非常重要的贡献.本文的目的是通过对研究生考试中与一致收敛性相关考题的分析,来研究研究生考试中一致收敛性考察的特点与方法.本文所使用的的判别方法建立在我们所学习过的许多教材当中^[12],本文以此为基础,首先分析对于每一种判别方法的选择条件,然后通过探讨研究生入学考试中一致收敛性的相关问题归纳其思路与解法,并列举例题说明其解题思路的实用性.

2 研究生考试中一致收敛性问题概述

研究生考试中,一致收敛性是一个经常考到的考点,这部分的题目难度系数较大,而分数也相对较高,所以相对比较重要.这部分题目主要考察的内容有两个,一部分是对所给的函数项级数或者函数列相关性质的解析,而另一部分是对判别方法的考察.本文主要围绕这个两个部分进行讲解.

另外,通过对比高考,研究生考试考察的内容更多偏向于大学阶段所学习的积分内容,而在一致收敛性这部分内容上也不例外,反常积分的一致收敛性也是研究生考试中一致收敛的重要部分.所以这里就不得不额外说明一下反常积分的一致收敛性这部分内容.

实际上,反常积分可以看做一种特殊的函数项级数或者函数列.对于一些形如这样的积分,完全可以看成函数列这样的形式；而对于一些形如这样的反常积分,我们同样可以看成这样的形式（其中,）.所以,在下列分析中,将反常积分的一致收敛性判别法归于函数项级数与函数列的一致收敛性当中,部分题目也会涉及反常积分的一致收敛性.

3 对于一致收敛性判别方法的选择

判别一致收敛的方法有许多种,在解题中一旦选错了判别方法,可能需要花费很多的功夫才能解决问题,所以选择正确的判别方法是至关重要的.由于本文基于研究生入学考试的题目,所以只会较有针对性的谈论常用的判别方法,而对于通过放缩一致收敛性强度的判别方法以及一些局部一致收敛性的判别方法^[5][10][11]这里暂不讲解,详细可以阅读相关论文.

3.1 用一致收敛定义的条件

一致收敛的定义有两种：一种对函数列一致收敛的定义,其特点是找到极限函数,使得；另一种是对函数项级数一致收敛的定义,这个定义是将函数项级数的一致收敛性转换成了部分和函数列的一致收敛性,令,当时,函数项级数一致收敛.因此,只要找到极限函数或者一致收敛的部分和函数列就可以证明它的一致收敛性.

研究生考试中的题目一般难度较大,而可以直接求出极限函数或者部分和函数列的题目难度较低,所以在研究生考试中,为了增强题目的难度,用定义证明一致收敛性更多是和其他的知识一起考察的,例如加入到其他判别法证明当中（例如在判别法中对为收敛的正项级数的证明、阿贝尔判别法中对在区间上一致收敛的证明.）或者求反常积分的一致收敛性.这样的话,题目不仅考察了用定义去证明一致收敛性,还同时考察了其他的知识点.

例1 设在上连续,令,证明在上一致收敛于0.

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